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1、新教材适用北师大版数学A.基础达标1直线ykx2与双曲线x2y22有且只有一个交点,那么k的值是()A1BC1, D解析:选C.把ykx2代入x2y22,整理得,(1k2)x24kx60.当1k20,即k1时,ykx2与双曲线渐近线平行,满足要求当1k20时,当ykx2与x2y22相切时,满足要求,即0,得k.综上可知,满足条件的k的值为1,.2已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F且斜率为1的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(12,15),则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析:选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),E的方程为1(a0,b0),则得0
2、,因为x1x224,y1y230,1,所以4b25a2,又因为c3,所以a2,b,故E的方程为1.3已知双曲线的方程为1(a0,b0),过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段F1P,则双曲线的离心率为()A. B.1C. D2解析:选A.由题意得P的横坐标为c,由1得y,即P(c,),kF1P得e.4已知双曲线1(a0,b0),若过右焦点F且倾斜角为30的直线与双曲线的右支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是()A(1,2) B(1,)C2,) D,)解析:选B.双曲线1的渐近线为yx,由题意得,0tan 30,即.又因为e1,所以e(1,)5已知直线yx与双曲线1
3、交于A,B两点,P为双曲线上不同于A,B的点,当直线PA,PB的斜率kPA,kPB存在时,kPAkPB()A. B.C. D与P点位置有关解析:选A.设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则由得y2,则y1y20,y1y2,x1x20,x1x24.由于kPAkPB,即kPAkPB为定值,故选A.6双曲线1的左、右焦点分别为F1,F2.给定四条直线:5x3y0;xy40;5x3y520;4x3y150.如果上述直线上存在点P,使|PF2|PF1|6,则满足这样条件的直线对应的序号是_解析:由1,所以a29,b216,所以c225,c5,由双曲线的定义,双曲线上任意一点P满足6
4、10.当直线上存在点P满足|PF2|PF1|6时,说明直线与双曲线的左支有公共点由已知双曲线的渐近线方程为yx,对于两直线的斜率均为,故均与双曲线左支无公共点,经验证表示的直线与双曲线有交点答案:7直线l与双曲线y21相交同一支于A,B两点,线段AB的中点在直线y2x上,则直线AB的斜率为_解析:设l的方程为ykxb,由消去y得:(12k2)x24kbx2b220.因为l与双曲线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),故8b2816k20,12k20,由根与系数的关系知:x1x2,则y1y2k(x1x2)2b.因为线段AB的中点在直线y2x上,所以有,得k,满足式当直线l的斜率不
5、存在时,不符合题意答案:8已知双曲线C:1(a0,b0),若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A,B两点,且3,则双曲线离心率的最小值为_解析:因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A,B两点且3,故直线与双曲线相交只能是如图所示的情况,即A点在双曲线的左支,B点在右支,设A(x1,y1),B(x2,y2),右焦点F(c,0),因为3,所以cx13(cx2),3x2x12c,由图可知,x1a,x2a,所以x1a,3x23a,故3x2x14a,即2c4a,2,即e2,所以离心率的最小值为2.答案:29已知双曲线C:1(a0,b0)的焦距为4,且经过点.(1)求双曲线C的方程和其渐近线方程;(2)若
6、直线l:ykx2与双曲线C有且只有一个公共点,求所有满足条件的k的取值解:(1)由题意可知:双曲线的焦点为(2,0)和(2,0),根据定义有2a|2,所以a1,由以上可知:a21,c24,b23.所以所求双曲线C的方程为x21.渐近线方程为yx.(2)由得(3k2)x24kx70.当3k20即k时,此时直线l与双曲线相交于一个公共点,符合题意;当3k20即k时,由0得k,此时直线l与双曲线相切于一个公共点,符合题意,综上所述:符合题意的k的所有取值为,.10已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0)(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A
7、和B,且2(其中O为原点),求k的取值范围解:(1)设双曲线方程为1(a0,b0)由已知得a,c2,再由a2b222,得b21.故双曲线C的方程为y21.(2)将ykx代入y21得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线交于不同的两点得即k2且k22得xAxByAyB2,而xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)k2.于是2,即0,解此不等式得k23.(*)由(*)(*)得k21.故k的取值范围为(1,)(,1)B.能力提升1已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y2x10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.1
8、 B.1C.1 D.1解析:选A.由题意得:2,左焦点为(c,0)在y2x10上,得c5,a,b2.故双曲线的标准方程为1.2设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析:选A.由双曲线的对称性知,满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称又由题意知有且只有一对这样的直线,故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30且小于等于60,即tan 30tan 60,所以3.又e21,所以e24,所以0,b0
9、)的渐近线方程为yx,O为坐标原点,点M(,)在双曲线上(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且0,求|OP|2|OQ|2的最小值解:(1)双曲线C的渐近线方程为yx,所以b23a2,双曲线的方程可设为3x2y23a2.因为点M(,)在双曲线上,可解得a24,所以双曲线C的方程为1.(2)设直线PQ的方程为ykxm,点P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程代入双曲线C的方程,可化为(3k2)x22kmxm2120,所以x1x2,x1x2.由0x1x2y1y20,即(1k2)x1x2km(x1x2)m20,所以(1k2)kmm20,化简得m26k26,|OP
10、|2|OQ|2|PQ|2(1k2)(x1x2)24x1x224.当k0时,|PQ|22424成立,且满足,又因为当直线PQ垂直于x轴时,|PQ|224,所以|OP|2|OQ|2的最小值是24.6(选做题)已知双曲线C:1(a0,b0),如图,B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足:|,|,|成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为P.(1)求证:;(2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E,D,求双曲线离心率e的取值范围解:(1)证明:双曲线的渐近线为yx,F(c,0),所以直线l的斜率为,所以直线l:y(xc)由得P.因为|,|,|成等比数列,所以xAca2,所以xA,A,所以,则.(2)由得,x22cx0,因为点E,D分别在双曲线的左右两支上,所以0,所以b2a2.所以e22,所以e.