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1、2020-2021哈尔滨九年级数学 平行四边形的专项 培优易错试卷练习题一、平行四边形1如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C，连接AC并延长交直线DE于点P，F是AC的中点，连接DF（1）求FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出ACC的面积最大值【答案】（1）45；（2）BP+DPAP，证明详见解析；（3）1【解析】【分析】（1）证明CDECDE和ADFCDF，可得FDPADC45；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明BAPDAP
2、（SAS），得BPDP，从而得PAP是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线CG，确定ACC的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C在BD上时，CG最大，其ACC的面积最大，并求此时的面积【详解】（1）由对称得：CDCD，CDECDE，在正方形ABCD中，ADCD，ADC90，ADCD，F是AC的中点，DFAC，ADFCDF，FDPFDC+EDCADC45；（2）结论：BP+DPAP，理由是：如图，作APAP交PD的延长线于P，PAP90，在正方形ABCD中，DABA，BAD90，DAPBAP，由（1）可知：FDP45DFP90APD45，P45，APAP，在BAP和DAP
3、中，BAPDAP（SAS），BPDP，DP+BPPPAP；（3）如图，过C作CGAC于G，则SACCACCG，RtABC中，ABBC，AC，即AC为定值，当CG最大值，ACC的面积最大，连接BD，交AC于O，当C在BD上时，CG最大，此时G与O重合，CDCD，ODAC1，CG1，SACC【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题2已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且.现将纸片折叠，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），点P为点D的对应点，再
4、将纸片还原。（I）若点P落在矩形OBCD的边OB上，如图，当点E与点O重合时，求点F的坐标；如图，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G，若，求点F的坐标：（）若点P落在矩形OBCD的内部，且点E，F分别在边OD，边DC上，当OP取最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）。 【答案】（I）点F的坐标为；点F的坐标为；（II）【解析】【分析】（I）根据折叠的性质可得,再由矩形的性质，即可求出F的坐标;由折叠的性质及矩形的特点，易得，得到，再加上平行，可以得到四边形DEPF是平行四边形，在由对角线垂直，得出 是菱形，设菱形的边长为x，在中，由勾股定理建立方程即可求解;()当O,P,F
5、点共线时OP的长度最短.【详解】解：（I）折痕为EF,点P为点D的对应点四边形OBCD是矩形，点F的坐标为折痕为EF，点P为点D的对应点.四边形OBCD是矩形，；四边形DEPF是平行四边形.，是菱形. 设菱形的边长为x，则，在中，由勾股定理得 解得 点F的坐标为 （）【点睛】此题考查了几何折叠问题、等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，关键是根据折叠的性质进行解答，属于中考压轴题3已知RtABD中，边AB=OB=1，ABO=90问题探究：（1）以AB为边，在RtABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为 （2）以AB为边，在RtABO的右边作等边三角形AB
6、C，如图（2），求点O与点C的距离问题解决：（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由【答案】(1)、；(2)、；(3)、.【解析】【分析】试题分析：(1)、如图1中，连接OD，在RtODC中，根据OD=计算即可(2)、如图2中，作CEOB于E，CFAB于F，连接OC在RtOCE中，根据OC=计算即可(3)、如图3中，当OFDE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM分别求出MH、OM、FH即可解决问题【详解】
7、试题解析：(1)、如图1中，连接OD，四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD=1，C=90 在RtODC中，C=90，OC=2，CD=1，OD=(2)、如图2中，作CEOB于E，CFAB于F，连接OCFBE=E=CFB=90， 四边形BECF是矩形， BF=CF=，CF=BE=，在RtOCE中，OC=(3)、如图3中，当OFDE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DMFD=FE=DE=1，OFDE， DH=HE，OD=OE，DOH=DOE=22.5， OM=DM，MOD=MDO=22.5， DMH=MDH=45， DH=HM=， DM=OM=，F
8、H=， OF=OM+MH+FH=OF的最大值为考点：四边形综合题4如图（1）在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BFAE，垂足为G交AD于F（1）求证：AFDE；（2）连接DG，若DG平分EGF，如图（2），求证：点E是CD中点；（3）在（2）的条件下，连接CG，如图（3），求证：CGCD【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CGCD，见解析【解析】【分析】（1）证明BAFADE（ASA）即可解决问题（2）过点D作DMGF，DNGE，垂足分别为点M，N想办法证明AFDF，即可解决问题（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DECD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要证明B
9、CCP即可【详解】（1）证明：如图1中，在正方形ABCD中，ABAD，BADD90o，2+390又BFAE，AGB901+290，13在BAF与ADE中，1=3 BA=AD BAF=D，BAFADE（ASA）AFDE（2）证明：过点D作DMGF，DNGE，垂足分别为点M，N由（1）得13，BGAAND90，ABADBAGADN（AAS）AGDN， 又DG平分EGF，DMGF，DNGE，DMDN，DMAG，又AFGDFM，AGFDMFAFGDFM（AAS），AFDFDEADCD，即点E是CD的中点（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DECD，ADEECP90，DEACEP，ADEPCE（AS
10、A）AEPE，又CEAB，BCPC，在RtBGP中，BCPC，CGBPBC，CGCD【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题5(1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EFBD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分ABD 求证：四边形BFDE是菱形；直接写出EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于
11、点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】（1）详见解析；60（2）IHFH；（3）EG2AG2+CE2【解析】【分析】（1）由DOEBOF，推出EOOF，OBOD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EBED即可先证明ABD2ADB，推出ADB30，延长即可解决问题（2）IHFH只要证明IJF是等边三角形即可（3）结论：
12、EG2AG2+CE2如图3中，将ADG绕点D逆时针旋转90得到DCM，先证明DEGDEM，再证明ECM是直角三角形即可解决问题【详解】（1）证明：如图1中，四边形ABCD是矩形，ADBC，OBOD，EDOFBO，在DOE和BOF中， ，DOEBOF，EOOF，OBOD，四边形EBFD是平行四边形，EFBD，OBOD，EBED，四边形EBFD是菱形BE平分ABD，ABEEBD，EBED，EBDEDB，ABD2ADB，ABD+ADB90，ADB30，ABD60，ABEEBOOBF30，EBF60（2）结论：IHFH理由：如图2中，延长BE到M，使得EMEJ，连接MJ四边形EBFD是菱形，B60，EBBFED，DEBF，JDHFGH，在DHJ和GHF中， ，DHJGHF，DJFG，JHHF，EJBGEMBI，BEIMBF，MEJB60，MEJ是等边三角形，MJEMNI，MB60在BIF和MJI中，BIFMJI，IJIF，BFIMIJ，HJHF，IHJF，BFI+BIF120，MIJ+BIF120，JIF60，JIF是等边三角形，在RtIHF中，IHF90，IFH60，FIH30，IHFH（3）结论：EG2AG2+CE2理由：如图3中，将ADG绕点D逆时针旋转90得到DCM，FAD+DEF90，AFED四点共圆，EDFDAE45，ADC90，ADF+EDC
