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1、1.有两个相距为2a，电荷均为+q的点电荷。今在它们连线的垂直平分线上放置另一个点电荷q，q与连线相距为b。试求： （1）q所受的电场力； （2）q放在哪一位置处，所受的电场力最大？解：解法一 用直角系分解法求解。取直角坐标系，两q连接的中点为坐标原点O，如图所示。(1) 由库仑定律可知，两电荷q施加给q的电场力F1和F2的大小分别为: F1和F2分别在X轴和Y轴上的投影为:于是电荷q所受的合力F在X轴方向的分量为:因此，电荷q所受的合电力F的为在Y轴方向的分量,大小为:方向沿Y轴方向。(2) 根据q所受的电力F=Fj,设式中b为变量，求F对变量b的极值，有:可得:得:由于：所以，当q放在处时
2、，所受的电场力最大。解法二 本题也可以直接用矢量合成法求解。 (1)根据库仑定律，q所受的电力F1和F2分别为 有电场力叠加原理可知，q所受的合力F为:此结果与解法一相同。如果选取的电荷q与q同号，F方向与Y轴同向；如果q与q异号，F方向与Y轴反向。(2) 同解法一（略）。.如图所示，在边长为a的正方形的4个顶点上各有一带电量为q的点电荷。现在正方形对角线的交点上放置一个质量为m，电量为q0(设q0与q同号)的自由点电荷。当将q0沿某一对角线移动一很小的距离时，试分析点电荷q0的运动情况。解:如图所示，取坐标轴OX，原点O在正方形的中心，顶点上的点电荷到O电的距离为。沿X轴方向使q0有一小位移
3、x(xa), 左右两个点电荷q对q0的作用力Fx(1)为:因为xa，故xR），带宽为dr，则圆环带的面积为dS=2rdr,其上带电量为dq=dS=2rdr; 应用已知带电细圆环在轴线上的场强公式， 可得该圆环带在轴线上P点产生电场的大小: ，因此，该系统在P点产生总场强的大小为: 方向沿X轴正方向。解法二 半径为R的圆孔可以看成是其上均匀地分布着电荷面密度为+和-的两种电荷。若在圆孔上补一个半径为R、电荷面密度为+的圆盘，则P点处的场强可以看成是电荷面密度为+的无限大均匀带电平面在P点产生的场强E1和电荷面密度为-、半径为R的带电圆盘在P点产生的场强E2的矢量和，由于E1和E2方向均沿X轴方向
4、，P点的总场强E的大小为: 方向沿X轴正方向。7.如图所示，一半径为R的半球面，其上均匀地带有正电荷，电荷面密度为，试求球心处的电场强度E。解: 取坐标轴OX，将带电半球面分成许多宽度极窄的半径不同的带电圆环，其上任意一个圆环上的带电量为:为便于计算，可采用角量描述。因为: ,dl=Rd,所以dq=2R2sind.又带电圆环在轴线上一点的场强公式，可得该带电圆环在P点产生场强dE的大小为: ,由于dq为正，故dE方向沿X轴正方向。将dq 带入上式，可得: ,为所有圆环在P点产生场强的矢量和，则整个半球面在球心P点处产生的场强的大小为:方向沿X轴正方向 8. 如图所示，一点电荷Q处于边长为a 正
5、方形平面的中垂线上，Q与平面中心O点距a/2。试求通过正方形平面的电通量。解: 以正方形为一面，取一个立方体状的闭合面S将Q包围起来。由高斯定理可知，通过该闭合面的电通量为:由于立方体的六个表面均相等，且对中心（即Q所在处）对称，所以，通过每一面的电通量为Q/60 ，也就是通过正方形面积的电通量。9.一个电荷按体密度对称分布的球体，试求带电球体场强的分布。解:由于电荷分布具有球对称性，所以它所激发的电场也具有球对称性，其场强的方向沿径向，而且在同一球面上场强处处相等。因此，可用如图所示求解E。设球内任意点P到球心O的距离为r，如图所示，在以O为中心，r为半径的球面上各点的场强数值相等，而方向均
6、垂直于球面。因此可以选择此球面作为高斯面，根据高斯定理可得:由于电荷沿径向分布，所以: 代入上式得: 若球体半径为R，求解球外一点P的场强时，由高斯定理可知:此时 :10. 如图（a）所示，在一电荷体密度为e的均匀带电球体中，挖去一个球体，形成一球形空腔，偏心距为a。试求腔内任一点的场强E。解: 可用补偿法求解。由题意可知，可以设想不带电的空腔等效于腔内有体密度相同的等值异号的两种电荷。这样本题就可归结为求解一个体电荷密度为e的均匀带电大球体和一个体电荷密度为-e的均匀带电小球体，在空腔内产生的场强叠加。设P点为空腔内任一点，大球O的场强分布具有球对称性，小球O的场强分布也具有球对称性，于是可
7、分别以O和O为球心，以r和r为半径（均通过P点），作高斯面S和S。根据高斯定理，可求得大球在P点产生的场强为:同理，可求得小球在P点产生的场强为:如图（b）所示，由电场叠加原理可知，P点的总场强为:结果表明，空腔内的场强是均匀的，其大小为，其方向为平行于两球心的连线a，由O指向O， 如图（b）所示。11.有一半径为R的均匀带电球体，电荷体密度为+，今沿球体直径挖一细隧道，设挖隧道前后其电场分布不变，如图所示。现在洞口处由静止释放一点电荷-q，其质量为m，重力在此忽略不计。试求点电荷在隧道内的运动规律。解: 沿隧道取坐标轴OX，以球心为坐标原点O，如图所示。若点电荷-q位于某位置x处时，以x为半
8、径，可作一球形高斯面S，由高斯定理可求出x处的场强大小为:其方向沿X轴正方向。因此在此处点电荷-q受到的电场力为:不难看出，F的方向始终是指向球心的。若令k=q/30 ，则F为:F=-kx,这表明点电荷受的力F满足线形回复力的关系，则-q以O点为平衡位置作简谐振动。由简谐振动知识可知，点电荷-q在隧道中谐振的圆频率为: , 响应的运动周期为: 12. 半径为R的无限长圆柱体，柱内电荷体密度=ar-br2,r为某点到圆柱轴线的距离，a、b为常量。试求带电圆柱体内外电场分布。解: 因为电荷相对轴线呈对称分布，所以距轴线为r的场点的场强数值相等，场强方向沿圆柱径向，因此可用高斯定理求解。选取长为l，
9、半径为r，与带电圆柱同轴的柱形高斯面S，由高斯定理可知:当rR时，高斯面S内所包围电荷的代数和为: 代入(1)可得: 13.三块面积均为S，且靠的很近的导体平面A、B、C分别带电Q1、Q2、Q3，如图所示。求：(1)6个导体表面的电荷面密度1，2，6 (2) 图中a,b,c三点的场强。 解： （1）因3导体板靠的很近，可将6个导体表面视为6个无限大带电表面。导体表面电荷分布可认为是均匀的，且其间的场强方向垂直于导体表面。作如图虚线所示的圆柱型高斯面，因导体在到达静电平衡后内部场强为零，又导体外的场强方向与高斯面的侧面平行，故由高斯定理可得2 = 3，4 = 5，再由导体板A内d点场强为零，可知:所以:1=6，故点a的场强为6个导体表面产生场强的矢量和:根据上述已知结果，可知：，再由于:得:(2)a,b,c点的场强:同理14.将一块两面总电荷面密
