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1、松江区2012学年度第一学期高三期末考试数学（理科）试卷（一模）（满分150分，完卷时间120分钟） 2013.1一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知集合,，若，则 【答案】4 【解析】因为，所以或。若，则,，满足。若，则,，不满足，所以。2若行列式，则 【答案】2【解析】由得，即，所以。3若函数的图像与的图像关于直线对称，则 【答案】1【解析】因为函数的图像与的图像关于直线对称，所以由，即，所以，所以。4某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取
2、一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 【答案】20【解析】设样本中松树苗的数量为，则有，解得。5已知数列的前项和，则 【答案】5【解析】因为，所以。6己知，且，则 【答案】【解析】因为，所以，即，所以。7抛物线的焦点为椭圆 的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 【答案】【解析】由椭圆方程可知，所以，即，所以椭圆的右焦点为，因为抛物线的焦点为椭圆的右焦点，所以，所以。所以抛物线的方程为。8已知，则的最小值为 【答案】2【解析】由得且，即。所以，所以的最小值为2.9在ABC中，角所对的边分别是，若，且，则ABC的面积等于 【答案】【解析】由得，所以，所以，所以。10若二项式展开式中
3、项的系数是7，则= 【答案】【解析】二项展开式的通项为，令得，所以，所以的系数为，所以。所以。11给出四个函数：，其中满足条件：对任意实数及任意正数，都有及的函数为 （写出所有满足条件的函数的序号）【答案】【解析】由得，所以函数为奇函数。对任意实数及任意正数由可知，函数为增函数。为奇函数，但在上不单调。为偶函数。，满足条件。为奇函数，但在在上不单调。所以满足条件的函数的序号为。12甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜想甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为，且，若，则称甲乙“心有灵犀”现找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 【答案】【解析】试验发生的所有事件是从0
4、，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个共有1010种不同的结果，则的情况有0，0；1，1；2，2；3，3；4，4；5，5；6，6；7，7；8，8；9，9；0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3；4，5；5，4；5，6；6，5；6，7；7，6；7，8；8，7；8，9；9，8共28种情况，甲乙出现的结果共有1010=100，所以他们”心有灵犀”的概率为P=13已知是定义在上的增函数，且的图像关于点对称若实数满足不等式，则的取值范围是 【答案】【解析】因为函数的图像关于点对称，所以，由得，因为函数是定义在上的增函数，所以得，即，配方得，所以圆心为，半径为1，的几
5、何意义为圆上动点到原点距离的平方的最值。圆心到原点的距离为，所以动点到原点的距离的范围是，所以，所以的取值范围是。14定义变换将平面内的点变换到平面内的点若曲线经变换后得到曲线，曲线经变换后得到曲线，依次类推，曲线经变换后得到曲线，当时，记曲线与、轴正半轴的交点为和某同学研究后认为曲线具有如下性质：对任意的，曲线都关于原点对称；对任意的，曲线恒过点；对任意的，曲线均在矩形（含边界）的内部，其中的坐标为；记矩形的面积为，则其中所有正确结论的序号是 【答案】【解析】设上一点，则该点是由变换来的，所以，即。因为，所以不可能关于原点对称，所以错误。当，则，所以，所以错误。因为，所以曲线均在矩形（含边界
6、）的内部，所以正确。因为，所以，所以，所以正确，所以所有正确结论的序号是。二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15过点且与直线平行的直线方程是A B C D 【答案】D【解析】设所求的平行直线方程为，因为直线过点，所以，即，所以所求直线方程为，选D.16对于原命题：“已知，若 ，则”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为A0个 B1个 C2个 D4个【答案】C【解析】当时，不成立，所以原命题错误，即逆否命题错误。原命题的逆命题为“已知，若 ，则”，所以逆
7、命题正确，即否命题也正确，所以这4个命题中，真命题的个数为2个，选C.17右图给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值有A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C【解析】若，则，由，得或。若，则，由，得。若，则，由，解得（舍去）。所以满足输出值和输入值相同的有3个，选C.18设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是ABCD【答案】D【解析】由得，所以函数的周期是4，又函数为偶函数，所以，即函数关于对称。且。由得，令，做出函数的图象如图，由图象可知，要使方程恰有3个不同的实数根，则有，
8、即，所以，即，解得，所以选D.三解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）已知，其中.设函数，求的最小正周期、最大值和最小值 20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知，且满足（1）求；（2）若，求证：21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数当不超过4（尾/立方米）时，的
9、值为（千克/年）；当时，是的一次函数；当达到（尾/立方米）时，因缺氧等原因，的值为（千克/年）。（1）当时，求函数的表达式；（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知递增的等差数列的首项，且、成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列对任意，都有成立，求的值（3）若，求证：数列中的任意一项总可以表示成其他两项之积23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点
10、为、.（1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程；（2）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线的交点为，求动点的轨迹方程；（3）过双曲线的左焦点，且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求证：对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得.松江区2012学年度第一学期高三期末考试数学（理科）试卷参考答案2013.11 4 2 2 3 1 4 20 5 5 6 7 8 2 9 10 11 12 13 14 15D 16 C 17C 18D19解：由题意知 3分 6分最小正周期 8分当，即时，10分当，即时，12分20解：（1）设，则， 2分由 得 4分解得 或 5分或 7分（2
11、）当时， 10分当时，13分 14分21解：（1）由题意：当时，； 2分当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得 4分故函数= 6分（2）依题意并由（1）可得 8分当时，为增函数，故； 10分当时， 12分所以，当时，的最大值为 当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米14分22解：（1）是递增的等差数列，设公差为 1分、成等比数列， 2分由 及得 3分 4分（2）， 对都成立当时，得 5分当时，由，及得，得 7分 8分 10分（3）对于给定的，若存在，使得 11分，只需， 12分即，即即， 取，则 14分对数列中的任意一项，都存在和使得 16分23解：（1）， 1分由，得，即可得 3分的渐近线方程为 4分（2）设，又、，直线的方程为直线的方
