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1、最小二乘配置法在GPS高程异常推估中的应用本文论述了： 简述了最小二乘配置法的基本原理, 并在水准联测点不多的情况下, 直接采用平方根函数作为各随机参数间的协方差函数用于推估GPS高程异常值。由于最小二乘配置法的函数模型中同时考虑了非随机变量和随机变量, 使得高程异常值的推估精度更高。实例分析也证明了此模型在精度上优于传统的平面拟合模型和协方差推估模型。残差分析表明此方法更适合于同时存在内插和外推高程异常值的情况。1引言 随着GPS技术的不断发展, 其在测绘领域得到了广泛的应用。通过GPS相对定位可精确求得各GPS点WGS284 大地高H0。然而实际应用中, 地面点的高程H 采用的是以似大地水
2、准面为基准的正常高系统, 其中, 各点的高程异常 1, 2 。如果精确求出了各个GPS点的高程异常值就可以把GPS所测的大地高直接转换成正常高, 因此, 精确高程异常值的确定问题就成为GPS高程转换的关键问题。常规的高程异常推估方法有平面拟合, 曲面拟合, 多面函数拟合等, 常规方法都是通过拟合出与高程异常相近似的趋势面来代替拟合区域的似大地水准面, 而并未考虑趋势面与似大地水准面之间的差值, 即将全部待定参数看作非随机变量, 另外协方差推估是将待定参数看作随机变量而并未考虑非随机变量问题, 无论是只考虑非随机变量还是只考虑随机变量在理论上都是不全面的, 实践中的应用也有局限 3 。而考虑函数
3、模型中非随机的系统部分的同时还考虑随机部分的方法称为最小二乘配置法。2平面拟合法 采用多项式函数作为平面拟合法的函数模型 4 :i= a0 + a1 xi + a2 yi +i (2)式中i 表示高程异常; xi , xi 为平面坐标, i 为残差。依此平滑出一个平面来代表拟合区域的似大地水准面, 供内插或外推使用。上式用矩阵表示为: = BX + (3)误差方程为V =BX -, 通过n ( n3) 个已知高程异常的水准重合点, 用最小二乘法求得拟合系数ai , 然后利用式(2) 或式(3) 在不考虑残差的情况下求得未知高程异常。3协方差推估设X为已知点信号(正态随机参数向量) , 已知其先
4、验期望为E （X） =x , 先验方差D（ X） =Dx , X为未测点信号, 也为正态随机变量, 其数学期望为x , 方差为Dx , X与X的协方差为Dxx=（Dxx）t, L 为正态观测向量, 是随机变量误差向量, 其中E = 0, var = D。实际应用中, 噪声与X、X是相互独立的, 即DX = 0, DX= 0。协方差推估公式为 (5)若设B = I (单位阵) , 且不考虑噪声误差, 即D = 0,则上式可表示为:4最小二乘配置法的原理最小二乘配置的函数模型一般是:L = BX + GY + (8)式中L 为观测向量, 为观测噪声, N ( 0, D ) ,Y为倾向参数(非随机参
5、数) , X为滤波信号(随机参数) ,另外还有未观测点推估信号X, 则式(8) 也可表示为:L = CZ + GY + (9)式中C = B 0 , Z =X X已知先验信息E （X） =x , var X =Dx, E（X)=(X) ,var( X)=D(X) , 而X与X的协方差为Dxx=(Dxx) , 实际应用中, 噪声与X、X是相互独立的, 即D(X) = 0, D(X)= 0。式(9) 对应的误差方程为:V = CZ + GY - L (10)根据最小二乘原理有VT PV + VTZ PZVZ = min (11)式中V是观测值L 的改正数; VZ 是Z的先验期望E(Z) 的改正数,从而推得 3 :若设B = I (单位阵) , X = 0, X= 0且不考虑噪声误差, 即D = 0, 则上式可表示为:从而求得未测点的平差值:L= GY + X (18)5算例某沿江地形平缓区域的GPS控制网有无粗差且同精度的水准高程点17个, 其坐标和大地高(国家GPS网B级要求施测) 、正常高(二等水准测量施测) 、高程异常如表1所列。备注: 其中点26为外推点, 点2、3、21为内插点;外部符合精度计算公式 8 : M = sqrt（VV / ( n - 1)） ,其中V为检核点与拟合值i 之差, n为检核点数。
