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1、随机过程课程设计论文燕山大学理学院04 级 统计2班作者：周春辉 040108020050孙志国 040108020055马尔可夫（Markov）链在体育教学评价中应用改进摘要：针对马尔可夫链在体育教学评价中应用的基本思想，分析了马尔可夫链在评价实践中的不足，提出 在前后价值状态一致基础上构建转移矩阵，并通过适当处理，从转移矩阵中提炼出变化信息，为合理、有 效地评价体育教学效果提供理论和实践依据。关键词：马尔可夫链；转移矩阵；教学评价；进步度The improve Application of the Markov Chain Methodon Teaching Evaluation in P
2、hysical EducationAbstract: According to the main thought of the application of the Markov Chain method to teaching evaluation in physical education, this paper analyzes the deficiencies of current application and puts forward a proposal to construct transfer matrix and gets the information from it,
3、of which the result provides the theoretical and practical basis for the evaluation of physical education properly and effectively.Key words: Markov; transfer matrix; teaching Evaluation, progress degree马尔可夫（Markov）链是一个建立在随机过程的数学模型。由于在体育教学评价领域中，诸多评价对 象的形成过程可以看成或近似看成随机过程，加之评价者对了解评价对象将来价值状况的需要，使得马尔 可夫
4、链在体育教学评价中得到广泛的应用。马尔可夫链方法在体育教学评价中应用的优点在于考虑了评价要消除基础差异。如在评价不同教师的 教学效果时，往往总是以教师所教学生的最后成绩为依据给出评价。事实上，不同的教师所带班级学生在 原始水平上的差异，影响着学生的最后考试成绩。若单纯地根据学生最后成绩对教师的教学效果做出评价， 而不考虑学生的基础差异的影响，得出的结论不一定反映实际情况，其结论难以让人信服。对此马尔可夫 链分析法考虑了学生的原始状态，在同一标准下把学生的原始成绩分成相同的等级，即确定出状态空间， 然后求出一步转移矩阵，最后根据马尔可夫链的平稳性及遍历性求出极限向量，并根据极限向量进行比较 判断
5、。1 马尔可夫链的基本思想马尔可夫链在体育教学评价中的应用是基于两次测验基础上的，即“前测与后测设计”基础上的，通 过仔细地分析学生两次测验在不同成绩等级间的变化，构建转移矩阵。在假定保持教学效果稳定的条件下， 得到的马尔可夫链的稳定分布状态可以表明学生最终达到的程度。具体思想如下：在教学效果指标量化过程中，运用马尔可夫链法将一个班（或年级）的学生原始成绩按高低分别划分 为 q 个等级， 然后计算出各等级学生人数占总人数之比并作为状态向量， 用 A 表示：n nn A二 12 q(nnn 丿 其中n为学生总人数，n .为第i（i=l,2,q）等级人数。i经过若干阶段教学后，为了考察教学效果，需
6、要分析上述各等级学生在阶段教学后的变化情况。同样把阶段教学后测得的学生成绩也按照高低划分为q个等级，数出各等级所含学生的频数，从而求出如下一 步转移矩阵P：（n11n1n21n2n-A2n1n22n2n ) 1qn1nn2=(Pj ) qnln qnq2nqnqqn丿q y其中n 仍表示最初阶段的第i等级中学生数, in 表示阶段教学后属于第 i 等级的学生其成 ij绩归属于第j类的学生数，且满足P = 1, ijj=10 P l）转移概率PQ），利用切普曼一柯尔莫哥洛夫（Chamman-Kolmogorov）方程有P (k) = P(K一 1)P(1)=%当kR马尔可夫过程所涉及的各状态的概
7、率分布将稳定不变（这个性质称为遍历性，与其相对应的概率分布是稳定分布），据此，可求出稳定概率向量，这个稳定不变的概率向量就成为评价标准， 然后通过求解方程组得到具体的量化指标值。2 马尔可夫链在体育教学评价中的应用疑点2.1 价值状态的一致性在教学实践中，利用马尔可夫链法对体育教学进行评价，一般是运用前后相继的两个价值状态（如两 次考试成绩）之间的联系来刻画转移概率矩阵的，并由此对评价对象达到当前状态的实践进行评价。但是， 对前后两次所使用的价值尺度是否一致，前后两次对评价对象评价的情景是否一致，这些均会影响确定的 状态矩阵。现以某班前后两次考试为例，假设第一次该班考试的平均成绩为80分，标准
8、差为10分，而且 在100， 90分上有10人，在90， 80分上有15人，在80， 70分上有10人，在70， 60分上有6人，在 60，0分上有4人。在第二次考试中，该班的平均成绩为85分，标准差为8分。而且，第一次考试成绩在第二次考试成绩的分布为表1：表 1 两次考试原始成绩关系第二次考试成绩100 9090 8080 7070 60600100 908290 8031280 7052370 6033060 022由此建立的转移概率矩阵为0.80.2000、0.20.800000.50.20.30000.50.50 0000.50.5丿另一方面，如果将两次考试成绩均转化为Z-标准分，则可
9、将表1改变成为表2：表2两次考试Z-标准分成绩关系第二次考试成绩1.88 0.630.63 -0.63-0.63-1.88-1.8 8-3.22-3.22 T0.630第 2182一 1o312考 0 -1523试成-1-2330绩 -2-822由表 2 可以看出，前后两次考试分数是不等值的，第一次考试成绩的五个状态与第二次考试成绩的五 个状态不具有可比性。因此，所建立的转移概率矩阵的意义值得怀疑。2.2 价值状态的概率分布马尔可夫链所描述的过程是在 K 趋于无限大，出现或达到各状态的概率分布稳定不变时，方可利用 马尔可夫链模型进行评价。在利用得到的概率向量在求解方程组时，已人为确定向量的特征
10、根为1，进而 建立评价标准。至于各状态是否达到稳定不变，运用者应该通过求解来验证，而在实践教学应用中，评价 者都不考虑这一条件，而是假设其达到稳定状态，事实上，这一条件对构建稳定的概率分布有一定的影响。3 马尔可夫链在体育教学评价中的改进3.1 构造转移矩阵把学生前后两次考试成绩合并成一个样本(x ,x，,x ,x ,x ,x )，求出其平均数(X)11 121m 21 222 m和标准差(S)。由于研究表明学生的学业成绩基本上是呈正态分布或接近正态分布，因此根据正态分布规 律，利用X和S可以划分出在一定区间内的q个等级。再由q个等级来计算学生前次考试中各等级的学生n nn 人数占总人数之比的
11、状态向量，用A表示：亠亠亠n nn 丿其中n为学生总人数，n为第i(i=l,2,q)等级人数。i为了考察教学效果，需要分析上述各等级学生在第二次考试中的各等级变化情况。同样把第二次考试 成绩也按照q个等级的区间标准，数出各等级所含学生的频数，从而求出如下一步转移矩阵P：nnna-2-.Lq_nnn111nnn21222 qnnn222nnnq2qqnnnqqq丿=叫)q其中n仍表示最初阶段的第i等级中学生数,in 表示阶段教学后属于第 i 等级的学生其成 ij绩归属于第j类的学生数，且满足它p = 1, 0 P j)等生就是进步，把i等生培养成j(ivj)等生就是退步，把握住这一点就可消除基础
12、差异，同时又能体 现出教学效果的好坏。为了准确地从转移矩阵中提炼出变化信息，特建立如下模型：(i - j)3 nS = (i-j)3 p =j,(i,j=l,2,q )。其中S称为p的转移进步度，(i-j)3称为p的ijij nij ijijni权重。 i-j 值的大小和正负表示进步或退步的程度，指数“3”是用来调节正负和权重大小(i - j)3 nS= (Sj ) qME =生q(s)i=1 j=1i=1 j =1sij称为转移矩阵 p 的进步矩阵。qxqij(i - j) P =茫ij i=1 j =1(i - j)3n亠称为转移矩阵p的效率度。niji4 马尔可夫链在体育教学评价中改进前
13、后的比较以文献1中的例子为例，因没有前后两次考试的原始成绩，现假设其考试所使用的价值尺度一致。第一学年末 2 个班体育综合测试的各等级状态向量(优秀，良好，中等，及格，不及格)：8 23 7 7 17 22 8 8 1A = (，), A =(，)甲 46 46 46 46 46 乙 46 46 46 46 46经过一年教学后2 个班学生的体育状态概率转移矩阵：8 45 102312323231 40000丿22P=2232222设等级状态向量(优秀，0000258000良好，中等，及格，不及格)分别以(1，2，3，4，5，)来代替，由定义2 可得P甲的进步矩阵为O 5 一238 - 7=甲S0278702338270-12007丁328
