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1、高等数学课后习题及参考答案（第七章）习题7-1 1. 设u=a-b+2c, v=-a+3b-c. 试用a、b、c表示2u-3v . 解 2u-3v =2(a-b+2c)-3(-a+3b-c) =2a-2b+4c+3a-9b+3c =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形. 证 ; , 而 , , 所以 . 这说明四边形ABCD的对边AB=CD且AB/CD, 从而四边形ABCD是平行四边形. 3. 把DABC的BC边五等分, 设分点依次为D1、D2、D3、D4, 再把各分点与点A连接. 试以、表示向量、. 解 , , , . 4. 已知两点
2、M1(0, 1, 2)和M2(1, -1, 0). 试用坐标表示式表示向量及. 解 , . 5. 求平行于向量a=(6, 7, -6)的单位向量. 解 , 平行于向量a=(6, 7, -6)的单位向量为 或. 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？ A(1, -2, 3); B(2, 3, -4); C(2, -3, -4); D(-2, -3, 1). 解 A在第四卦限, B在第五卦限, C在第八卦限, D在第三卦限. 7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: A(3, 4, 0); B(0, 4, 3); C(3, 0, 0); D(0, -1,
3、 0). 解 在xOy面上, 点的坐标为(x, y, 0); 在yOz面上, 点的坐标为(0, y, z); 在zOx面上, 点的坐标为(x, 0, z). 在x轴上, 点的坐标为(x, 0, 0); 在y轴上, 点的坐标为(0, y, 0), 在z轴上, 点的坐标为(0, 0, z). A在xOy面上, B在yOz面上, C在x轴上, D在y轴上. 8. 求点(a, b, c)关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(a, b, c)关于xOy面的对称点为(a, b, -c), 点(a, b, c)关于yOz面的对称点为(-a, b, c), 点(
4、a, b, c)关于zOx面的对称点为(a, -b, c). (2)点(a, b, c)关于x轴的对称点为(a, -b, -c), 点(a, b, c)关于y轴的对称点为(-a, b, -c), 点(a, b, c)关于z轴的对称点为(-a, -b, c). (3)点(a, b, c)关于坐标原点的对称点为(-a, -b, -c). 9. 自点P0(x0, y0, z0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标. 解 在xOy面、yOz面和zOx面上, 垂足的坐标分别为(x0, y0, 0)、(0, y0, z0)和(x0, 0, z0). 在x轴、y轴和z轴上, 垂足的坐标分别为(
5、x0, 0, 0), (0, y0, 0)和(0, 0, z0). 10. 过点P0(x0, y0, z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？ 解 在所作的平行于z轴的直线上, 点的坐标为(x0, y0, z); 在所作的平行于xOy面的平面上, 点的坐标为(x, y, z0). 11. 一边长为a的立方体放置在xOy面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x轴和y轴上, 求它各顶点的坐标. 解 因为底面的对角线的长为, 所以立方体各顶点的坐标分别为 , , , , , , , . 12. 求点M(4, -3, 5)到各坐标轴的距离. 解
6、 点M到x轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即 . 点M到y轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, -3, 0)之间的距离, 即 . 点M到z轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即 . 13. 在yOz面上, 求与三点A(3, 1, 2)、B(4, -2, -2)和C(0, 5, 1)等距离的点. 解 设所求的点为P(0, y, z)与A、B、C等距离, 则 , , . 由题意, 有 , 即 解之得y=1, z=-2, 故所求点为(0, 1, -2). 14. 试证明以三点A(4, 1, 9)、B(10, -1, 6)
7、、C(2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形. 解 因为 , , , 所以, . 因此DABC是等腰直角三角形. 15. 设已知两点和M2(3, 0, 2). 计算向量的模、方向余弦和方向角. 解 ; ; , , ; , , . 16. 设向量的方向余弦分别满足(1)cosa=0; (2)cosb=1; (3)cosa=cosb=0, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？ 解 (1)当cosa=0时, 向量垂直于x轴, 或者说是平行于yOz面. (2)当cosb=1时, 向量的方向与y轴的正向一致, 垂直于zOx面. (3)当cosa=cosb=0时, 向量垂直于x轴和y轴, 平
8、行于z轴, 垂直于xOy面. 17. 设向量r的模是4, 它与轴u的夹角是60, 求r在轴u上的投影. 解 . 18. 一向量的终点在点B(2, -1, 7), 它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4, -4, 7. 求这向量的起点A的坐标. 解 设点A的坐标为(x, y, z). 由已知得 , 解得x=-2, y=3, z=0. 点A的坐标为A(-2, 3, 0). 19. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k. 求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量. 解 因为 a=4m+3n-p =4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-
9、4k ) =13i+7j+15k, 所以a=4m+3n-p在x轴上的投影为13, 在y轴上的分向量7j . 习题7-2 1. 设a=3i-j-2k, b=i+2j-k, 求(1)ab及ab; (2)(-2a)3b及a2b; (3)a、b夹角的余弦. 解 (1)ab=31+(-1)2+(-2)(-1)=3, . (2)(-2a)3b =-6ab = -63=-18, a2b=2(ab)=2(5i+j+7k)=10i+2j+14k . (3). 2. 设a、b、c为单位向量, 且满足a+b+c=0, 求ab+bc+ca . 解 因为a+b+c=0, 所以(a+b+c)(a+b+c)=0, 即 aa
10、+bb+cc+2ab+2ac+2ca=0, 于是 . 3. 已知M1(1, -1, 2)、M2(3, 3, 1)和M3(3, 1, 3). 求与、同时垂直的单位向量. 解 , . , , 为所求向量. 4. 设质量为100kg的物体从点M1(3, 1, 8)沿直线称动到点M2(1, 4, 2), 计算重力所作的功(长度单位为m, 重力方向为z轴负方向). 解F=(0, 0, -1009. 8)=(0, 0, -980), . W=FS=(0, 0, -980)(-2, 3, -6)=5880(焦耳). 5. 在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处, 有一与成角q1的力F1作用着; 在
11、O的另一侧与点O的距离为x2的点P2处, 有一与成角q1的力F1作用着. 问q1、q2、x1、x2、|F1|、|F2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？ 解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零, 再注意到对力矩正负的规定可得, 使杠杆保持平衡的条件为 x1|F1|sinq1-x2|F2|sinq2=0, 即 x1|F1|sinq1=x2|F2|sinq2. 6. 求向量a=(4, -3, 4)在向量b=(2, 2, 1)上的投影. 解 . 7. 设a=(3, 5, -2), b=(2, 1, 4), 问l与m有怎样的关系, 能使得la+mb与z轴垂直? 解 la+mb=(3l+2
12、m, 5l+m, -2l+4m), la+mb与z轴垂la+mb k (3l+2m, 5l+m, -2l+4m)(0, 0, 1)=0, 即-2l+4m=0, 所以l=2m. 当l=2m 时, la+mb与z轴垂直. 8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角. 证明 设AB是圆O的直径, C点在圆周上, 则, . 因为, 所以, C=90. 9. 设已知向量a=2i-3j+k, b=i-j+3k和c=i-2j, 计算: (1)(ab)c-(ac)b; (2)(a+b)(b+c); (3)(ab)c . 解 (1)ab=21+(-3)(-1)+13=8, ac=21+(-3)(-2)=8, (a
13、b)c-(ac)b=8c-8b=8(c-b)=8(i-2j)-(i-j+3k)=-8j-24k . (2)a+b=3i-4j+4k, b+c=2i-3j+3k, . (3), (ab)c=-81+(-5)(-2)+10=2. 10. 已知, , 求DOAB的面积. 解 根据向量积的几何意义, 表示以和为邻边的平行四边形的面积, 于是DOAB的面积为 . 因为, , 所以三角形DOAB的面积为 . 12. 试用向量证明不等式: , 其中a1、a2、a3、b1、b2、b3为任意实数, 并指出等号成立的条件. 解 设a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3), 则有 , 于是 , 其中当=1时, 即a与b平行是等号成立. 习题7-3 1. 一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离, 求这动点的轨迹方程. 解 设动点为M(x, y, z), 依题意有 (x-2
