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1、2.1.习题1设随机变量的分布函数为，证明也是随机变量，并求的分布函数证明：由定理2.1.3随机变量的Borel函数仍为随机变量，故也是随机变量的分布函数为当时，故；当时，因此，的分布函数为3假定一硬币抛出正面的概率为，反复抛这枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数的密度阵；（2）恰好抛偶数次的概率解：（1）表示前次都出现正(反)面，第次出现反(正)面，据题意知，所以，抛掷次数的密度阵为(2) 恰好抛掷偶数次的概率为：R x4在半径为R的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到圆心之距离的分布函数及 解：此点到圆心之距离的分布函数为当时，；当时，；当时， 故的分布函数为5在半径
2、为的车轮边缘上有一裂纹，求随机停车后裂纹距地面高度的分布函数 解：当时，；当裂纹距离地面高度为时，分布函数为；当裂纹距离地面高度为时，分布函数为；当裂纹距离地面高度为时，分布函数为；当时， ；则的分布函数为6已知随机变量的密度函数为 试求：(1) 的分布函数，（2）解：（1）当时，；当时，；当时，； 当时，；则的分布函数为（2） 7设，（1）求使为密度函数；（2）若以此为密度函数，求使解：（1）由密度函数的性质，知解得，（2）【法一】根据概率的非负性，当时，显然不成立；当时，而，即，解得，【法二】的分布函数为当时，上式不成立当时，则，解得，8.设是连续型分布函数，试证对任意有 .证：等式左边=
3、 =因是连续的分布函数则上式积分可以交换 则上式交换积分次序得2.2习题1向目标进行20次独立的射击，假定每次命中率均为0.2试求：（1）至少命中1次的概率；（2）至多命中2次的概率；（3）最可能命中次数解：令表示命中次数，这是=20重试验，每次命中率=0.2，命中次数服从B(20,0.2)分布 (1) 至少命中一次的概率 (2) 至多命中两次的概率 (3) 在二项分布中， 时，最大，故=4时最大，即最可能命中的次数为4次 2同时掷两枚骰子，直到某个骰子出现6点为止，求恰好掷次的概率解：掷一枚骰子出现6点的概率是，同时出现6点的情况有两种：都是6点概率为，其中一个是6点的概率为2因此掷两枚骰子
4、出现6点的概率是 以表示某骰子首次出现6点时的投掷次数，题目要求恰好掷次则前次都没有出现6点，于是所求概率为3某公司经理拟将一提案交董事代表会批准，规定如提案获多数代表赞成则通过经理估计各代表对此提案投赞成票的概率为0.6，且各代表投票情况相互独立为以较大概率通过提案，试问经理请3名董事代表好还是请5名好？解：即求请3名董事获多数赞成通过的概率大还是请5名董事通过的概率大令表示3名董事代表对提案的赞成数，则分布多数赞成，即 令表示5名董事代表对提案的赞成数，则分布多数赞成，即 因此，请5名董事代表好 4甲、乙二队比赛篮球假定每一场甲、乙队获胜的概率分别为0.6与0.4，且各场胜负独立如果规定先
5、胜4场者为冠军，求甲队经场(=4,5,6,7)比赛而成为冠军的概率再问与赛满3场的“三场两胜”制相比较，采用哪种赛制甲队最终夺得冠军的概率较小？解：令表示甲成为冠军所经过比赛的场数对甲先胜四场为冠军：表示前场中胜三场，第场必胜则 因此，=4,5,6,7对甲先胜四场成为冠军的概率是对赛满3场的“三场两胜”制：甲前两场中胜一场，第三场必胜 则因此，进行甲先胜4场成为冠军的概率较大5对重试验中成功偶数次的概率解：记为一次试验中事件成功的概率，为失败的概率 由 （-）/2得： 7在可列重试验中，以表第次成功的等待时间，求证与有相同的概率分布 解：这是一个几何分布表示第一次成功到第二次成功的等待时间如果
6、第一次成功到第二次成功进行了次试验，而第一次成功进行了次 试验根据几何分布的无记忆性可得： , 因此，与有相同的概率分布8.（广义试验）假定一试验有个可能结果，并且，现将此试验独立地重复次，求恰出现次，恰出现次(，)的概率解：设一次试验的可能结果为，它们构成一完备事件组，则在次重复独立试验中分别出现次的概率为 （恰出现次，恰出现次，则组成元序列，上述次试验结果由分成组，共有种结果，每种结果出现的概率是，则次Bernoulli试验中恰出现次，恰出现次(，)的概率概率是 ）2.3 Poisson分布1假定螺丝钉的废品率，试求一盒应装多少只才能保证每盒中正品在100只以上的概率不小于80%解：设每盒
7、应装100+只，为使每盒有100只以上的好钉，则每盒次品的个数应-1，故由于值不大，有1.5,0.80,查表，当时, =0.557825；当时, =0.8,则=3时，满足题设条件，故每盒中应装103只2据以往的记录，某商店每月出售的电视机台数服从参数的 Poisson分布问月初应库存多少台电视机，才能以0.999的概率保证满足顾客对电视机的需求解：设月初应当库存电视机台数为，则每月出售的电视机台数，要满足顾客的要求，则,即查表得： 当=15时，；当=16时，；因此，月初应当库存16台电视机才能以0.999的概率保证满足顾客对电视机的需求3保险公司的资料表明，持有某种人寿保险单的人在保险期内死亡
8、的概率为0.005现出售这种保险单1200份，求保险公司至多赔付10份的概率解：保险公司赔付的份数服从=1200,=0.005的二项分布根据Poisson定理，服从参数为的Poisson分布查表，得4假定每小时进入某商店的顾客服从的 Poisson分布，而进来的顾客将购买商品的概率均为0.05，且各顾客是否购物相互独立，求在一小时中至少有6位顾客在此商店中购物的概率解：记每小时进入某商店的顾客数为，则服从的Poisson分布记每小时在商店中购物的顾客数为，顾客购物概率为以事件,为分割，由全概率公式得，对于非负整数, 有= = = =满足的Poisson分布，查表，得8假定非负整值离散型分布的密
9、度满足条件=,1,其中常数0，试证明分布是以为参数的Poisson分布 解： =由此得：，并且=1,可得=，故因此，此分布是以为参数的Poisson分布2.4 重要的连续性分布1设服从区间上的均匀分布，求二次方程有实根的概率解：由题意知，的概率密度函数为若方程有实根，则，即， 解得，则 3假定随机变量只取区间中的值，且对任何，落在子区间内的概率仅与有关求证服从区间上的均匀分布证法一：定义则是的分布函数由题设得对任意有，即有由此得逐一类推可得，若，则，或者从而对有理数，若与都属于，则有再由的左连续性可得，对任意无理数，若与都属于，则因为区间与的长度相等，由题设得.由此及上段证明得，对任意有，即为
10、 服从上均匀分布证法二：如同证法一中定义的分布函数，由单调知它对上的L测试几乎处处可微设，当时，由题设得等式两端都除以，再令可得，由存在可推得也存在，而且从而对任意有当时，显然有一点的长度为0，由题设得由上所述可知是连续型随机变量，是其密度函数，从而定出至此得证服从均匀分布4设服从分布(1)求使;(2)求使解：由题意知，（1）得， 即 ， 即 查表，得，解得。（2） ，查表，得，解得。5在正常的考试中，学生的成绩应服从分布若规定分数在以上为“优秀”， 至之间为“良好”，至之间为 “一般”，至之间为“较差”，以下为“最差”试求这五个等级的学生各占多大比例解：记优秀，良好，一般，较差，最差分别为事
11、件记学生的成绩为，则6某人要开汽车从城南到城北火车站如果穿行，则所需时间（单位：分钟）服从分布如果绕行，则所需时间服从分布假设现在他有：（1）分钟可用；（2）分钟可用，试分别计算是穿行还是绕行好些？解：记为到火车站所需时间 因为，所以穿行好些。因为，所以绕行好。7已知随机变量服从标准正态分布，而或视或而定试求的分布解：由题意知 ，所以， 综上可知，服从标准正态分布8假设一机器的检修时间（单位：小时）是以为参数的指数分布试求：（1）检修时间超过小时的概率；（2）若已经修理个小时，求总共要少个小时才会修理好的概率解：由已知得， （1）记检修时间为，；（2）由指数分布的无记忆性得，。9设服从参数为的
12、指数分布，求的分布解：由已知得，则服从几何分布 2.5多维概率分布1 甲从1，2，3，4中任取一数，乙再从1， 中任取一整数试求（）的联合分布与边缘分布解： 可以取的值为1，2，3，4.那么取每一个值的概率为，一但取定值，那么只能从1，2， 中取值取每一个值的概率为于是有：所以（）的联合分布与边缘分布如下：12341203004000 3 . 设的联合密度函数为 试求： ( 1 ) 的联合分布函数; （ 2）的边缘密度函数解：由的联合密度函数的定义域为于是分下列区域进行讨论：当时, = = = = 当时，当时, = 当时, = = =其他区域 (2) 的边缘密度函数为：=， 5. 设分布函数与对应的密度函数为与证明对于任何有 是二维密度函数，且以与为其边缘密度函数证明：从定义出发进行证明： 与且
