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1、帕斯卡与前个自然数的平方和十七世纪的法国数学家帕斯卡(Pacal B.，162.191662.8.9）想出了一种新的很妙的措施能求出前n个自然数的平方和。这个措施是这样的：运用和的立方公式,我们有(n+1)n3n2+n,移项可得(1)3-n3=3n2+3n+1,此式对于任何自然数n都成立。依次把n=1,2，3,，n1,n代入上式可得23 13312+311,3 -332232+1,43 33=332+331,n3（n1）3=(n-1)23(n1)+1,(1）3 n3n2n1,把这n个等式的左边与右边相应相加,则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩余(n1）3 -1;而n个等式的右边各项,我们把
2、它们按三列相加,提取公因数后，第一列浮现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列浮现我们在上一段已经算过的前个自然数的和,第三列是个。因而我们得到（）3 -1+n，目前这里Sn+22n2。对这个成果进行恒等变形可得n33n2+3n=Sn+n，2n3+n6n=6S3n2+3n+2移项、合并同类项可得6Sn2n3+3n+n(+1)（+),Sn(+1)(2+1)，即12232+nn（1）（2n1）。这个措施把所要计算的前个自然数的平方和与已知的前个自然数的和及其他某些已知量通过一种方程联系起来，然后解方程求出所但愿得到的公式，的确是很妙的。前n个持续自然数的平方和公式的最新证明措施袁志红有关前n个
3、持续自然数的平方和：的证明措施诸多,这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我目前用一种比较合适的措施，以便孩子们理解和掌握,同步发现这个措施教学效果较好.我们先来计算：11+22+33,即1个1与2个2与个的和。为此我们把这些数排列成下面等边三角形的形状的数表： 2 2 3 把这个等边三角形数表顺时针旋转120度得到数表： 3 3 1 再把数表顺时针旋转20度得到数表: 32 1 2 3观测、三个数表相应位置的数字，看看它们之间有什么规律？不难发现:最顶层的三个数字是：1、3;第二行左侧三个数字是：2、3、2;第二行右侧三个数字是:、2、3；第三行最左侧三个数字是：3、3、；第三行中
4、间三个数字是：3、2、2;第三行最右侧三个数字是:3、通过简朴地计算发现,上面每一组数字之和都是.每个数表都是6个位置,因此三个数表数字之和：共个7，而这三个数表的数字都是同样的(由于都是旋转得到的，只是变化了位置关系，数字不变）,因此每个数表数字之和为：73.而数表中数字的个数可以这样计算：第一行排1个数,第二行排2个数;第三行排3个数,因此共排了：1+2=6个数字。因此=(1+23)3(3+）6;同理也可以采用上面的措施推导出来: 1 2 2 3 nn nn n n n顺时针旋转0度，得到: n n-1 n -1 n-2 n n-1 n-2 n-3 n n- n2 n-3 3 2 把数表再顺时针旋转120度，得到： n -1 n n2 n- n n n-2 n-1 n 2 3 n n三个数表相应位置数字之和都是:1+n=2n+1,每个数表共排数字：1+2+4+n（n+1)2,因此三个数表数字之和：（n+1）(n+1）2，因此每个数表数字之和：.即请人们用相似的措施证明：1223+34+（n1).
