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1、初中平面几何训练题（较难）1.在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长。2过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、Bo所作割线交圆于C、D两点，C在PD之间，要统CD上取一点Q,使/DAQ=/PBC,求证:ZDBQ=ZPAC.3 .如图，在ABC中，A=60,ABAC,点O是外心。两条高BE、CF交于H点，点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BMCN,求MHNH的值OH4 .如图，ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB
2、交于点M,FD和AC交于点N。求证：(1)OBDF,OCDE;(2)OHMN;5如图，在锐角ABC的BC边上有两点E、F,满足BAECAF,作FMAB,FNAC（M、N是垂足），延长AE交ABC的外接圆于D点，证明四边形AMDN与ABC的面积相等;6 .如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD,在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求证：GACEAC7 .如图，已知两个半径不相等的圆O1和圆02相交于M、N两点，且圆01、圆02分别与圆O内切于S、T两点，求证：0MMN的充分必要条件是S、N、T三点共线；解得，AE+75IA=ISLAD+15f于是,点D是由AAEC的
3、斜边AC的中点:DE=AC=15连接DF,r点F在以DE为直径的圈上:ZDFE-RtZ,工AF=yA=Q.：G、F、E、D四点共E1,D、E、B、C四点共圆.工ZAFC=ZADE=ZABCt/,GFCB.延长AH交BC于P,则第若7H是AABC的垂心,二APBCt又丫BAECtAP=CE=24.由有AK=E二嘿8.64.AO32.证：如图：连结AB,在ADQ与ABC中，ADQABC,DAQPBCCABADQABCBCDQ一从而有BCADABDQABAD又由切割线关系可知：PCAPADPCACPAAD同理：由PCBPBD得：EC型PBBD又PAPBACBC_-ACBDBCADABDQADBD又关
4、于圆内接四边形ABCD的托勒密定理有:ACBDBCADABCD1于是：ABCD2ABDQDQ-CDCQDQ2在CBQ与ABD中:股=DQ=CQ,BCQBADABBCBCCBQABDCBQABDDBQABCPAC3.解：如图在BE上取BKCH,连结OB、OC、OK由三角形的外心的性质工由三角形的垂心的性质工BOCBHCB、C、H、O四点共圆OBHOCH又OBOC,BKCHBOKCOHBOKCOH,OKKOHBOC120观察OKH有：一KHsin120则KH.3OH又BMCN,BKCHKMNHMHNHMHKM蝴MHNH仁3OHBOC2ABHC180OH,OKHOHKOHsin30KH.3OH120
5、4.证:(1)A、C、D、F四点共圆；BDFBAC1-又OBC-(180BOC)90BACOBDF同理OCDE(2)CFMAMC2MH2AC2AHBENA_22_2NBNHABAHDABCBD2CD2BA2AC2OBDFBN2BD2ON2OD：OCDECM2CD2OM2OD2由，得：NH2MH2ON2OM2_22_22MO2MH2NO2NH2OHMN5.证明：如图，连结MN、BDFMAB,FNACA、M、F、N四点共圆AMNAFNAMNBAEAFNCAF90即：MNAD-1SAMDN2ADMNCAFDAB,ACFADBAD AFAFACAFCABDABACABAD又AF是过A、M、F、N四点的
6、圆的直径MNsinBACAFAFsinABCMNSABCSABC1八ABACsin21ADAFsin21-ADMN2SAMDNSAMDNBACBAC6.证明：如图，连结BD交AC于H,对BCD用塞瓦定理，有:CGBHDE1GBHDBC因为AH是BAD的平分线，由角平分线定理，BHABHDAD法CGABDE“故：1GBADEC过点C作AB的平行线交AG的延长线于I,过点的平行线交AE的延长线于JCGCIDEAD,GBABECCJCIABAD1ABADCJ从而:CICJ又CI/AB,CJ/ADACIBACDACACJACIACJIACJACGACEAC证明：如图，设圆O1,圆02,圆O的半径分别为
7、r1、r2、r,由条件可知O、01、S三点共线，0、02、T三点共线，且OSOTr,连结OS、OT、SN、NT、01N、02M、02N,0102(充分性)设S、N、T三点共线，则S=T,又O1SN与O2NT均为等腰三角形，SO1NS,TO2NTSO2NT,TO1NSO2NOS,O1NOT四边形OO1NO2为平行四边形OO1O2Nr2MO2,OO2O1Nr1MO1O1MO020MSO1MOSO2OMO1O2/OM又0102MNOMMN(必要性)若OMMN,0102MN,有01020MSO1MOSO2OM设OM=a由于01Mr1,010rr1,O2OrgOzM2可知01M0与020M的周长都等于ar,记pa-,由三角形面积的海伦公式，有：2SO1MO.p(pr1)(prr1)(pa).p(p2)(pr2)(pa)So2mo化简可得：(r1r2)(rr1r2)0又已知r1r2,有rr1r2故O1Orr1r2O2N,O2Orr2r1O1N,OO1NO2为平行四边形O2NSS180O1NTT又OiSN与O2NT均为等腰三角形TO2NT,SO1NSO1NO22SO2NSSO1NTTO1NO22TSTO1NSO2NTO1NSO1NO2O2NTSNO2S180S、N、T三点共线答案
