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1、青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案课 题7.3 二向应力状态分析解析法需 2课时教 学目 的要 求掌握运用解析法求二向应力状态，斜截面上的应力、主应力、主平面、最大切应力、切平面。教 学重 点解析法分析二向应力状态，主应力，主平面，最大切应力。教 学难 点解析法分析二向应力状态编写日期年 月 日教 学 内 容 与 教 学 过 程提示与补充1、 解析法分析二向应力状态2、斜截面上的应力3、主应力，主平面4、最大切应力例71 ，例72 ，例73 。7.3 二向应力状态分析解析法一、斜截面上的应力二向应力状态的一般情况是一对横截面和一对纵向截面上既有正应力又有切应力，如图10-6 a所示，从杆件
2、中取出的单元体，可以用如图10-6 b所示的简图来表示。假定在一对竖向平面上的正应力x 、切应力x 和在一对水平平面上的正应力y 、切应力y的大小和方向都已经求出，现在要求在这个单元体的任一斜截面ef上的应力的大小和方向。由于习惯上常用表示斜截面ef的外法线n与x轴间的夹角，所以有把这个斜截面简称为“截面”，并且用和表示作用在这个截面上的应力。对应力、和角度的正负号，作这样的规定：正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对单元体内的任一点作顺时针转向时为正，反时针转向时为负（这种规定与第八章中对剪力所作的规定是一致的）；角度以从x轴出发量到截面的外法线n是反时针转时为正，时顺时针转时为负。按照
3、上述正负号的规定可以判断，在图10-6中的x、y是正值，x是正值，y是负值，是正值。当杆件处于静力平衡状态时，从其中截取出来的任一单元体也必然处于静力平衡状态，因此，也可以采用截面法来计算单元体任一斜截面ef上的应力。取bef为脱离体如图10-6c所示。对于斜截面ef上的未知应力和，可以先假定它们都是正值。脱离体bef的立体图和其上应力的作用情况如图10-6d所示。设斜截面 ef 的面积为 dA ，则截面 eb和 bf的面积分别是 dAcos 和 dAsin。脱离体bef的受力图如图10-6e所示。取n轴和t轴如图10-6e所示，则可以列出脱离体的静力平衡方程如下：由n = 0，得到dA+(x
4、dAcos)sin-（xdAcos）cos +(ydAsin)cos-（ydAsin）sin = 0 ( a )由t = 0，得到dA+(xdAcos)cos-（xdAcos）sin +(ydAsin)sin-（ydAsin）cos = 0 ( b )由式( a )和( b )就可以分别推导出和的计算公式。在推倒过程中可以首先利用切应力互等定理x =y，将式（a）改写为 + 2xsincosxcos2ysin2= 0代入以下的三角函数关系：cos2 = ，sin2= sin2= 2sincos 就可以得到+x sin2-x( )-y( ) = 0经过整理后，便为 = + cos2- xsin2
5、 (6-1) 同理，可以由式（b）推导得= sin2+ xcos2(6-2) 式（6-1）和（6-2）就是对处于二向应力状态下的单元体，根据x 、y、x求和的解析法公式。 例71 一平面应力状态如例图10-7所示，试求其外法线与x轴成30 角斜截面上的应力。解 根据正应力、切应力和角的正负规定，有x = 10MPa，x =- 20 MPa，y =-20 MPa， = 30，将各数据代入式(10-1)和（10-2）得30 = （ + cos60 + 20sin60 ）MPa = MPa = 19.82MPa30= sin60 - 20cos60)MPa = MPa = 2.99 MPa结果为正，
6、表示实际应力的方向与图中假设方向一致，如图（b）所示。例72 试计算图10-8a所示的矩形截面简支梁，在点k处= - 30的斜截面上的应力的大小和方向。解 （1）计算截面m m上的内力。支座反力YA =YB = 10kN，画出内力图如(图10-8b)所示。截面m-m上的内力为：M = （10 103300 10-3 ）Nm = 3000Nm = 3kNmFQ = 10 kN（2）计算截面m-m上点k处的正应力x、y和切应力x 、y。由式（10-2）计算x ；I= mm=27300000mm = 27.310-6m4x = = N/m2= 2.2106 N/m2= 2.2MPa根据梁受纯弯曲时纵
7、向各层之间互不挤压的假定，可以近似地认为y = 0计算x 和y；x = = N/m2= 1.1106N/m2 = 1.1 MPay = -x = -1.1 MPa在点k处取出单元体，并且将x、y、x 、y的代数值表示在单元体上，如图10-8c所示。计算点k处 = - 30的斜截面上的应力。将上面已求出的x、y、x 、y的代数值和 =- 30代入式（ 6-1 ）和 （6-2 ）就可以求得： = + cos2(-30) - 1.1sin2(-30)MPa= （1.1 + 1.1 + 1.1）MPa = 2.60MPa = sin2(-30) + 1.1cos2(-30)MPa= 1.1(-) +
8、1.1 MPa= -0.40MPa将求得的和表示在单元体上，如图10-8c所示。将图10-8c所表示的单元体上的应力情况反映到梁AB上，则得如图10-8d所示。仔细观察图10-8c和d的对应关系，可以加深我们对应力状态概念的理解。二、主应力的计算和主平面确定根据上面导出的斜截面上的正应力和剪应力的计算公式，还可确定这些应力的最大值和最小值。将公式（61）对取导数，得：令此导数等于零，可求得达到极值时的值，以表示，即有 化简，得 (63)或 (64)由此可求出的相差90的两个根，也就是说有相互垂直的两个面，其中一个面上作用的正应力是极大值，用表示，称为最大正应力，另一个面上的是极小值，用表示，称
9、为最小正应力。可以求得，它们的值分别为 (65)不难得到 (66)将公式（62）对取导数，得：令此导数等于零，可求得达到极值时的值，以表示，即有 化简，得 (67)由此也可求出的相差90的两个根，也就是说有相互垂直的两个面，其中一个面上作用的切应力是极大值，用表示，称为最大切应力，另一个面上的是极小值，用表示，称为最小切应力。可以求得，它们的值分别为 (68)比较(103) 和(107)，可得 (69)因此，2和2相差90，和相差45，即最大正应力的作用面和最大切应力作用面的夹角为45。从公式(65)还可得到 (610)即最大切应力等于两个主应力之差的一半。例73 试分别确定，E、F两点的主平面的位置及主应力。 （1）E点主平面位置最大应力最小应力主应力： （2）F点主平面位置
