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1、第一章 随机事件和概率(1)排列组合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的也许数。 从m个人中挑出n个人进行组合的也许数。（2)加法和乘法原理加法原理（两种措施均能完毕此事）:m+n某件事由两种措施来完毕，第一种措施可由m种措施完毕,第二种措施可由n种措施来完毕，则这件事可由+ 种措施来完毕。乘法原理（两个环节分别不能完毕这件事）:n某件事由两个环节来完毕，第一种环节可由m种措施完毕,第二个环节可由n 种措施来完毕,则这件事可由n 种措施来完毕。(3）某些常用排列反复排列和非反复排列(有序）对立事件（至少有一种)顺序问题（)随机实验和随机事件如果一种实验在相似条件下可以反复进行,而每次实验的也许
2、成果不止一种，但在进行一次实验之前却不能断言它浮现哪个成果，则称这种实验为随机实验。实验的也许成果称为随机事件。（)基本领件、样本空间和事件在一种实验下，不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质：每进行一次实验，必须发生且只能发生这一组中的一种事件；任何事件,都是由这一组中的部分事件构成的。这样一组事件中的每一种事件称为基本领件，用来表达。基本领件的全体，称为实验的样本空间,用表达。一种事件就是由中的部分点（基本领件）构成的集合。一般用大写字母,C，表达事件，它们是的子集。为必然事件，为不也许事件。不也许事件（)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不也许事件；同理，必然事
3、件(）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6)事件的关系与运算关系:如果事件的构成部分也是事件的构成部分，（A发生必有事件B发生）:如果同步有，则称事件A与事件B等价，或称等于B：A=B。A、B中至少有一种发生的事件:AB,或者B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差,记为A-B,也可表达为A-A或者，它表达A发生而B不发生的事件。A、同步发生:B,或者AB。AB=,则表达A与B不也许同步发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本领件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为。它表达A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：(BC)(AB）C
4、(BC)=(A）C 分派率：(AB)C=（)（BC） (A)C（C)(C) 德摩根率： ,(）概率的公理化定义设为样本空间，为事件，对每一种事件均有一种实数P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1，2P() =1 对于两两互不相容的事件,，有常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件的概率。（8)古典概型1,2。设任一事件,它是由构成的，则有P()=()几何概型若随机实验的成果为无限不可数并且每个成果浮现的也许性均匀,同步样本空间中的每一种基本领件可以使用一种有界区域来描述，则称此随机实验为几何概型。对任一事件，。其中L为几何度量（长度、面积、体积)。()加法公式（A+B)=P(A）+
5、(B）-P（AB）当P()时，P(A+)=P（A)()(11）减法公式P（A）=P(）-(A)当BA时，(AB）=（A)-()当A=时,P(）=1- P(B）(12）条件概率定义 设、B是两个事件,且P(A)0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(/B)=()=1-P(B/)（13)乘法公式乘法公式：更一般地，对事件A，A2,An，若P(AA2An-1)，则有。()独立性两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是互相独立的。若事件、互相独立，且，则有若事件、互相独立，则可得到与、与、与也都互相独立。必然事件和不也许事
6、件与任何事件都互相独立。与任何事件都互斥。多种事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(A）=P()P(B)；（)=P()(C)；P(CA)(C)P（A)并且同步满足P(BC)P(A)P（B)P(C)那么A、B、C互相独立。对于n个事件类似。(15）全概公式设事件满足1两两互不相容，,2,则有。（16)贝叶斯公式设事件,，,及满足1,，两两互不相容,0,1，2，,2 ,，则,i1，2，。此公式即为贝叶斯公式。，（，,，），一般叫先验概率。，(,，），一般称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。（7）伯努利概型我们作了次实验，且满足u 每次
7、实验只有两种也许成果,发生或不发生;u 次实验是反复进行的,即发生的概率每次均同样;u 每次实验是独立的，即每次实验发生与否与其她次实验发生与否是互不影响的。这种实验称为伯努利概型,或称为重伯努利实验。用表达每次实验发生的概率，则发生的概率为，用表达重伯努利实验中浮现次的概率，。第二章 随机变量及其分布（1)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量的也许取值为Xk(k,2,)且取各个值的概率，即事件(X=)的概率为P(X=xk)k，k=,2,则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：。显然分布律应满足下列条件:（),， (2）。（2)持续型随机变量的分布密度设是随机变
8、量的分布函数,若存在非负函数，对任意实数，有， 则称为持续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。密度函数具有下面4个性质:1 。2 。（)离散与持续型随机变量的关系积分元在持续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(）分布函数设为随机变量,是任意实数,则函数称为随机变量X的分布函数,本质上是一种累积函数。可以得到X落入区间的概率。分布函数表达随机变量落入区间（，x内的概率。分布函数具有如下性质:1 ；2 是单调不减的函数，即时，有 ; , ; ,即是右持续的;5 。对于离散型随机变量,；对于持续型随机变量， 。()八大分布0-1分布P(X=)=p
9、,（X0)=q二项分布在重贝努里实验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数是随机变量,设为，则也许取值为。， 其中,则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。当时,，,这就是(0-1）分布，因此（0-1)分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量的分布律为,，,则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者（)。泊松分布为二项分布的极限分布(p=，n）。超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n，N,M)。几何分布,其中p0，=1。随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p）。均匀分布设随机变量的值只落在a,内，其密度函数在a,b上为常数,即axb 其她,则称随机变量在，b上
10、服从均匀分布，记为X(，b)。分布函数为 axb 0， xb。当axx2b时，X落在区间（）内的概率为。指数分布 ,0, ,其中,则称随机变量X服从参数为的指数分布。的分布函数为 , x0。 记住积分公式:正态分布设随机变量的密度函数为, ，其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为。具有如下性质：1 的图形是有关对称的；2 当时，为最大值；若,则的分布函数为dtexFxt-=222)(21)(smps。参数、时的正态分布称为原则正态分布,记为,其密度函数记为,分布函数为。是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(x)=1-（x)且（0)=。如果，则。
11、 (6)分位数下分位表:;上分位表：。（）函数分布离散型已知的分布列为，的分布列（互不相等)如下：，若有某些相等，则应将相应的相加作为的概率。持续型先运用X的概率密度X（)写出Y的分布函数F(y)P(g(X)y）,再运用变上下限积分的求导公式求出f(）。第三章 二维随机变量及其分布(1)联合分布离散型如果二维随机向量（X,Y）的所有也许取值为至多可列个有序对(x,y)，则称为离散型随机量。设=(，）的所有也许取值为，且事件=的概率为pij,，称为=(X,)的分布律或称为和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表达: Y1yy1p1p1p1jxp21p2p2jxi1这里pij具有下面两个性质：(1）pij0(,j=1,2，);(2)持续型对于二维随机向量，如果存在非负函数,使对任意一种其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域,即=(X,Y)|axb，cyx1时，有（x2,y）(x,y);当y2y1时,有F（，y） (,y);(3）F（x,y)分别对x和是右持续的，即(）(5)对于.（)离散型与持续型的关系(5)边沿分布离散型的边沿分布为；Y的边沿分布为。持续型的边沿分布密度为Y的边沿分布密度为(6)条件分布离散型在已知=x的条件下,Y取值的条件分布为在已知Yyj的条件下，X取值的条件分布为持续型在已知Y=的条件下，X的条件分布密度为；在已知Xx的条件
