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1、2016届高三南通市一模数学模拟试卷 命题 虞宗国 审核 吴晓慧一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1. 已知复数z112i，z2a2i（其中i为虚数单位，aR）若z1z2是纯虚数，则a的值为 2.已知集合，若，则 3.某高中共有人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列现用分层抽样While 10 三角形izhiqunEnd WhilePrint 第5题图的方法从中抽取人，那么高二年级被抽取的人数为 4.已知双曲线的渐近线方程为，则 5.执行右边的伪代码后，输出的结果是 6.若圆柱的侧面积和体积的值都是，则该圆柱的高为 7.小明通
2、过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此 点到圆心的距离大于，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于，则周末打篮球；否则就在家看书那么小明周末在家看书的概率是 8.在等比数列中，已知，则 9.已知函数的定义域为，值域为，则实数的取值集合为 10. 已知实数x，y满足则当2xy取得最小值时，x2y2的值为 11.设函数和的图象在轴左、右两侧靠近 轴的交点分别为、，已知为原点，则 12.若斜率互为相反数且相交于点的两条直线被圆：所截得的弦长之比为，则这两条直线的斜率之积为 13. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 14. 在中，为边上一点，若的外心恰在线段上，则 二、
3、解答题：（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本题满分14分）已知向量，（1）若，求角的大小；（2）若，求的值16.（本题满分14分）如图，矩形所在平面与直角三角形所在平面互相垂直，点分别是的中点（1）求证： 平面； （2）求证：平面平面17.（本题满分14分）如图，某市有一条东西走向的公路，现欲经过公路上的处铺设一条南北走向的公路在施工过程中发现在处的正北百米的处有一汉代古迹为了保护古迹，该市决定以为圆心，百米为半径设立一个圆形保护区为了连通公路、，欲再新建一条公路，点、分别在公路、上，且要求与圆相切（1）当距处百米时，求的长；（2）当公路长最短时，求的
4、长 18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，与轴平行的直线与椭圆交于、两点，过、两点且分别与直线、垂直的直线相交于点已知椭圆的离心率为，右焦点到右准线的距离为 （1）求椭圆的标准方程； （2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求面积的最大值19.（本题满分16分）已知，都是各项不为零的数列，且满足，其中是数列的前项和， 是公差为的等差数列（1）若数列是常数列，求数列的通项公式； （2）若（是不为零的常数），求证：数列是等差数列；（3）若（为常数，），求证：对任意的，数列单调递减20.（本题满分16分）设函数f (x)(xa)lnxxa，aR（1）若a
5、0，求函数f (x)的单调区间；（2）若a0，试判断函数f (x)在区间(e2，e2)内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的x(t，ta)， f (x)a1一、填空题1 ； 2； 3； 4； 5； 6； 7； 8； 9； 105； 11； 12或 ； 13 ； 14. 二、解答题15. 解：(1) 因为，所以，即，所以， 又，所以 分 (2)因为，所以，化简得，又，则，所以，则， 10分又，所以14分16. 证：（1）取中点，连接，又是中点，则，又是矩形边中点，所以，则四边形是平行四边形，所以，又面，面，所以平面分（2）因为平面平面，所以平面，因
6、为平面，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面 14分 17. 解：以为原点，直线、分别为轴建立平面直角坐标系 设与圆相切于点，连结，以百米为单位长度，则圆的方程为，(1)由题意可设直线的方程为，即， ，与圆相切，解得 ，故当距处百米时，的长为百米 5分（2）设直线的方程为，即 ，与圆相切，化简得，则，8分令， ，当时，即在上单调递减；当时，即在上单调递增，在时取得最小值，故当公路长最短时，的长为百米答：（1)当距处百米时， 的长为百米；（2）当公路长最短时， 的长为百米 14分18. 解：（1）由题意得，解得，所以，所以椭圆的标准方程为4分（2）设，显然直线的斜率都存在，设为，则，所以直线
7、的方程为：，消去得，化简得，故点在定直线上运动 10分（3）由（2）得点的纵坐标为，又，所以，则，所以点到直线的距离 为， 将代入得，所以面积，当且仅当，即时等号成立，故时，面积的最大值为 16分19解：（1）因为，所以，因为数列是各项不为零的常数列，所以，则由及得，当时，两式相减得， 当时，也满足，故 4分（2）因为，当时，两式相减得，即，即，又，所以，即，所以当时，两式相减得，所以数列从第二项起是公差为等差数列；又当时，由得，当时，由得，故数列是公差为等差数列 15分（3）由（2）得当时，即，因为，所以，即，所以，即，所以，当时，两式相减得 ，即，故从第二项起数列是等比数列，所以当时，另外
8、由已知条件得，又，所以，因而，令，则，因为，所以，所以对任意的，数列单调递减 16分20.解：（1）当a0时，f(x)xlnxx，f(x)lnx，令f(x)0，x1，列表分析x(0，1)1(1，)f(x)0f(x)单调递减单调递增故f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)3分（2）f(x)(xa)lnxxa，f(x)lnx，其中x0， 令g(x)xlnxa，分析g(x)的零点情况g(x)lnx1,令g(x)0，x，列表分析x(0，)(，)g(x)0g(x)单调递减单调递增g(x)ming()a，5分而f()lnae1ae，f(e2)2ae2(2ae2)，f(e2)2(2e2a
9、)，若a，则f(x)lnx0，故f(x)在(e2，e2)内没有极值点；若a，则f()lnae0，f(e2)(2ae2)0，f(e2)(2e2a)0，因此f(x)在(e2，e2)有两个零点，f(x)在(e2，e2)内有两个极值点；若a0，则f()lnae0，f(e2)(2ae2)0，f(e2)(2e2a)0，因此f(x)在(e2，e2)有一个零点，f(x)在(e2，e2)内有一个极值点；综上所述，当a(，时，f(x)在(e2，e2)内没有极值点；当a(，)时，f(x)在(e2，e2)内有两个极值点；当a，0)时，f(x)在(e2，e2)内有一个极值点.10分（3）猜想：x(1，1a)，f(x)a
10、1恒成立11分证明如下：由（2）得g(x)在(，)上单调递增，且g(1)a0，g(1a)(1a)ln(1a)a因为当x1时，lnx1(*)，所以g(1a)(1a)(1)a0故g(x)在(1，1a)上存在唯一的零点，设为x0 由x(1，x0)x0(x0，1a)f(x)0f(x)单调递减单调递增 知，x(1，1a)，f(x)maxf(1)，f(1a)13分 又f(1a)ln(1a)1，而x1时，lnxx1(*)， 所以f(1a)(a1)11a1f(1) 即x(1，1a)，f(x)a1 所以对任意的正数a，都存在实数t1，使对任意的x(t，ta)，使 f(x)a1 15分 补充证明（*）： 令F(x)lnx1，x1F(x)0，所以F(x)在1，)上单调递增 所以x1时，F(x)F(1)0，即lnx1 补充证明（*）令G(x)lnxx1，x1G(x)10，所以G(x)在1，)上单调递减 所以x1时，G(x)G(1)0，即lnxx116分
