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1、2012广东理一、选择题 设为虚数单位,则复数（）ABCD 设集合,则（）ABCD 若向量,则（）ABCD 下列函数中,在区间上为增函数的是（）ABCD 已知变量、满足约束条件,则的最大值为（）A12B11C3D 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（）AB CD 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是（）ABCD 对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量、满足,与的夹角,且和都在集合中,则（）AB1CD二、填空题 不等式的解集为_.的展开式中的系数为_.(用数字作答)已知递增的等差数列满足,则=_.曲线在点处的切线方程为_.执行如图2所示的程序框图,若输入的
2、值为8,则输出的值为_.在平面直角坐标系中,曲线和的参数方程分别为(为参数)和(为参数),则曲线与的交点坐标为_.如图3,圆的半径为1,、是圆周上的三点,满足,过点作圆的切线与的延长线交于点,则_.三、解答题已知函数(其中)的最小正周期为.()求的值;()设、,求的值.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:、.()求图中的值;()从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望.如图5所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.()证明:平面;()若,求二面角的正切值.设数列的前项和为,满足,
3、且、成等差数列.()求的值;()求数列的通项公式;()证明:对一切正整数,有.在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.()求椭圆的方程;()在椭圆上,是否存在点,使得直线:与圆:相交于不同的两点、,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由.设,集合,.()求集合(用区间表示);()求函数在内的极值点2012广东理参考答案一、选择题 D C A A B C. D C 解析 借助于已知定义可知：又因为平面向量，满足与的夹角，且和都在集合中，故可取，可得二、填空题 20 8 连结OA得,所以, 所以三、解答题 (),所以. (),所
4、以.,所以.因为、,所以,所以. ()由,解得. ()分数在、的人数分别是人、人.所以的取值为0、1、2. ,所以的数学期望是. ()因为平面,平面,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面. ()由()可知平面,而平面,所以,而为矩形,所以为正方形,于是. 法1:以点为原点,、为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.则、,于是,.设平面的一个法向量为,则,从而,令,得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为,于是二面角的正切值为3. 法2:设与交于点,连接.因为平面,平面,平面,所以,于是就是二面角的平面角.又因为平面,平面,所以是直角三角形.由可得,而,所以,而,所以,于是,而
5、,于是二面角的正切值为. ()由,解得. ()由可得(),两式相减,可得,即,即,所以数列()是一个以为首项,3为公比的等比数列.由可得,所以,即(),当时,也满足该式子,所以数列的通项公式是. ()因为,所以,所以,于是. ()因为,所以,于是.设椭圆上任一点,则(). 当时,在时取到最大值,且最大值为,由解得,与假设不符合,舍去. 当时,在时取到最大值,且最大值为,由解得.于是,椭圆的方程是. ()圆心到直线的距离为,弦长,所以的面积为,于是.而是椭圆上的点,所以,即,于是,而,所以,所以,于是当时,取到最大值,此时取到最大值,此时,. 综上所述,椭圆上存在四个点、,使得直线与圆相交于不同
6、的两点、,且的面积最大,且最大值为. ()考虑不等式的解. 因为,且,所以可分以下三种情况: 当时,此时,. 当时,此时,. 当时,此时有两根,设为、,且,则,于是 . 当时,所以,此时;当时,所以,此时. 综上所述,当时,;当时,;当时,;当时,.其中,. (),令可得.因为,所以有两根和,且. 当时,此时在内有两根和,列表可得1+0-0+递增极小值递减极大值递增所以在内有极大值点1,极小值点. 当时,此时在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时(可用分析法证明),于是在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时,于是在内恒大于0,在内没有极值点. 综上所述,当时,在内有极大值点1,极小值点;当时,在内只有极小值点,没有极大值点.当时,在内没有极值点. 第5页，共10页
