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1、二元一次方程组典型例题【例1】已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.（）由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.（）把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值.（）将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值.把代入，得，解得k=-4.解法二：3，得17y=k-22，解法三：+，得5x-y=2k+11.又由5x-y=3，得2k+11=3，解
2、得k=-4. 【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，也许这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应当用巧妙解二元一次方程组能力提高讲义知识提纲1 二元一次方程组的解的情况有以下三种： 当时，方程组有无数多解。（两个方程等效） 当时，方程组无解。（两个方程是矛盾的） 当（即a1b2a2b10）时，方程组有唯一的解：（这个解可用加减消元法求得）2 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若规定整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。3 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数
3、当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 例题例1.选择一组a,c值使方程组 1.有无数多解，2.无解，3.有唯一的解【例2】 解方程组 【思考与分析】 本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程同样，在方程两边同时乘以或除以字母表达的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零. 解：由，得 y=4mx， 把代入，得 2x+5（4mx）=8， 解得 （25m）x=-12，当25m0， 即m时，方程无解，则原方程组无解. 当25m0，即m时，方程解为将代入，得故当m时，原方程组的解为 例3.a取什么值时，方程组 的解是正数？例4.m取何整数值时，方程组的
4、解x和y都是整数？二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。2、灵活消元（1）整体代入法1. 解方程组（2）先消常数法2. 解方程组（3）设参代入法3. 解方程组（4）换元法4. 解方程组（5）简化系数法5. 解方程组课堂练习1 不解方程组，鉴定下列方程组解的情况： 2 a取哪些正整数值，方程组的解x和y都是正整数？3 要使方程组的解都是整数， k应取哪些整数值？二元一次方程组应用
5、探索【知识链接】列二元一次方程组解应用题的一般环节可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表达其中的两个未知数；（2）找：找出可以表达题意两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.二元一次方程组是最简朴的方程组，其应用广泛，特别是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：一、数字问题例1 一个两位数，比它十位上的数与个位
6、上的数的和大9；假如互换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表达：十位上的数个位上的数相应的两位数相等关系原两位数xy10x+y10x+y=x+y+9新两位数y10y+x10y+x=10x+y+27解方程组，得，因此，所求的两位数是14点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，假如直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或主线就想象不出关于x的方程一般地
7、，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之二、利润问题例2一件商品假如按定价打九折出售可以赚钱20%；假如打八折出售可以赚钱10元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解方程组，解得，因此，此商品定价为200元点评：商品销售赚钱百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价利润的计算一般有两种方法，一是：利润
8、=卖出价-进价；二是：利润=进价利润率（赚钱百分数）特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念三、配套问题例3某厂共有120名生产工人，每个工人天天可生产螺栓25个或螺母20个，假如一个螺栓与两个螺母配成一套，那么天天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才干使天天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母所有配上套，根据题意，天天生产的螺栓与螺母应满足关系式：天天生产的螺栓数2=天天生产的螺母数1因此，设安排人生产螺栓，人生产螺母，则天天可生产螺栓25个，螺母20个，依题意，得，解之，得故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母点评：产品配套是
9、工厂生产中基本原则之一，如何分派生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是运用配套自身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（1）“二合一”问题：假如件甲产品和件乙产品配成一套，那么甲产品数的倍等于乙产品数的倍，即；（2）“三合一”问题：假如甲产品件，乙产品件，丙产品件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：四、行程问题例4在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米分别在A、C两个加油站实行抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻
10、车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙通过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则，整理，得，解得，因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、本来的距离以及行走的时间，具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们本来的距离；“同向追及”时，快者所走的
11、路程减去慢者所走的路程等于它们本来的距离五、货运问题典例5 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货品要运，其中甲种货品每吨体积为6立方米，乙种货品每吨的体积为2立方米，要充足运用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货品应各装多少吨？分析：“充足运用这艘船的载重和容积”的意思是“货品的总重量等于船的载重量”且“货品的体积等于船的容积”设甲种货品装x吨，乙种货品装y吨，则，整理，得，解得，因此，甲、乙两重货品应各装150吨点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增长准确度化简时一般是去分母或两边同
12、时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等六、工程问题例6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，规定在规定期限内完毕，按照这个服装厂本来的生产能力，天天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户规定的期限内只能完毕订货的；现在工厂改善了人员组织结构和生产流程，天天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定期间少用1天，并且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？规定的期限是几天？分析：设订做的工作服是x套，规定的期限是y天，依题意，得，解得.点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量工作效率，工作效率=
13、工作量工作时间”另一方面注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表达总工作量【例7】某种商品价格为每件元，某人身边只带有元和元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品. 若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出元和元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？ 【思考与分析】本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解. 我们先找出问题中的数量关系，再找出最重要的数量关系，构建等式. 然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解. 最后，比较各个解相应的x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少. 解：设付出元钱的张数为x，付出元钱的张数为y，则x，y的取值均为自然数. 依题意可得方
14、程：2x+5y=33. 由于5y个位上的数只也许是或，所以2x个位上数应为或. 又由于x是偶数，所以x个位上的数是，从而此方程的解为：由得x+y=12；由得x+y=15. 所以第一种付款方式付出的张数最少. 答：付款方式有种，分别是：付出张元钱和张元钱；付出张元钱和张元钱；付出张元钱和张元钱.其中第一种付款方式付出的张数最少.【例8】某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了训练：当同时启动一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时启动一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生.（1） 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2） 检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将减少20.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由.【思考与解】（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生.根据题意，得所以
