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1、 习题一 （A）1. 用三个事件的运算表示下列事件：（1）中至少有一个发生；（2）中只有发生；（3）中恰好有两个发生；（4）中至少有两个发生；（5）中至少有一个不发生；（6）中不多于一个发生.解：（1） （2） (3) (4) (5) (6) 2. 在区间上任取一数， 记 ，求下列事件的表达式：（1）； （2）； (3) .解：（1） （2） （3）3. 已知，求.解：, 4. 已知，求与.解：, , , 5.将13个分别写有的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“”的概率.解：6. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰好有1件次品的概率.解：7. 某学生研究小组共有12
2、名同学，求这12名同学的生日都集中在第二季度（即4月、5月和6月）的概率.解： :8. 在100件产品中有5件是次品，每次从中随机地抽取1件，取后不放回，求第三次才取到次品的概率.解：设表示第次取到次品， 9. 两人相约7点到8点在校门口见面，试求一人要等另一人半小时以上的概率.解：10. 两艘轮船在码头的同一泊位停船卸货，且每艘船卸货都需要6小时.假设它们在一昼夜的时间段中随机地到达，求两轮船中至少有一轮船在停靠时必须等待的概率.解：11. 任取两个不大于的正数，求它们的积不大于，且它们和不大于1的概率.解： ， ，所以 ， 12. 设 证明：.证明： 13. 有朋自远方来，他坐火车、坐船、
3、坐汽车和坐汽车的概率分别为 .若坐火车来，迟到的概率是；若坐船来，迟到的概率是；若坐汽车来，迟到的概率是；若坐飞机来，则不会迟到.求他迟到的概率.解：14. 设10个考题签中有4个难答，3人参加抽签，甲先抽，乙次之，丙最后.求下列事件的概率： （1）甲抽到难签； （2）甲未抽到难签而乙抽到难签； （3）甲、乙、丙均抽到难签.解；（1） （2） （3） 15. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“”和“” .由于通信系统受到干扰，当发出信号“”时，收报台未必收到信号“”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“”和“”；同样，当发出信号“”时，收报台分别以0.9和0.1收到信号“”和“”.求：
4、（1）收报台收到信号“”的概率；（2）当收到信号“”时，发报台确实是发出信号“”的概率.解：（1） （2）16. 设相互独立，求.解： , 17. 两两独立的三事件满足并且.若，求.解： , 18、证明：（1）若，则. （2）若，则事件与相互独立.证明：（1） , (2) , 19. 甲、乙、丙三人独立地向一架飞机射击.设甲、乙、丙的命中率分别为0.4，0.5，0.7. 又飞机中1弹，2弹，3弹而坠毁的概率分别为0.2，0.6，1. 若三人各向飞机射击一次，求：（1）飞机坠毁的概率；（2）已知飞机坠毁，求飞机被击中2弹的概率.解：（1） （2） 20. 三人独立破译一密码，他们能独立译出的概率
5、分别为0.25，0.35，0.4.求此密码能被译出的概率.解： 21. 在试验中，事件发生的概率为，将试验独立重复进行三次，若在三次试验中“至少出现一次的概率为”，求.解：，22. 已知某种灯泡的耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个该型号的灯泡在使用1000小时以后至多有一个坏掉的概率.解：23. 设有两箱同种零件，在第一箱内装50件，其中有10件是一等品；在第二箱内装有30件，其中有18件是一等品.现从两箱中任取一箱，然后从该箱中不放回地取两次零件，每次1个，求：（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）已知第一次取出的零件是一等品，第二次取出的零件也是一等品的概率.解： （1
6、） (2) （B） 1.箱中有个白球和个黑球，从中不放回地接连取次球，每次1个.求最后取出的是白球的概率.解：2. 一栋大楼共有11层，电梯等可能地停在2层至11层楼的每一层，电梯在一楼开始运行时有6位乘客，并且乘客在2层至11层楼的每一层离开电梯的可能性相等，求下列事件的概率： （1）某一层有两位乘客离开； （2）没有两位及以上的乘客在同一层离开； （3）至少有两位乘客在同一层离开.解：（1） （2） (3) 3.将线段任意折成3折，求此3折线段能构成三角形的概率.解：， ， 4. 设平面区域由四点围成的正方形，现向内随机投10个点，求这10个点中至少有2个落在由曲线和直线所围成的区域的概率
7、.解： ， 5. 设有来自三个地区的10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份. 随机地取一个地区的报名表，从中先后抽取两份.（1）求先抽到的一份是女生表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生表的概率.解：（ 1） （2） 6. (Banach问题)某数学家有两盒火柴，每盒装有根，每次使用时，他在任一盒中取一根，问他发现一空盒，而另一盒还有根火柴的概率是多少.解：习题二 （ A ）1同时抛掷3枚硬币，以表示出现正面的枚数，求的分布律。解：, 2. 一口袋中有6个球，依次标有数字，从口袋中任取一球，设随机变量为取到的球上标有的数字，求的分布律以及
8、分布函数.解： 3.已知随机变量的分布函数为 ，求概率解： 4.设随机变量的分布函数为 求：（1）的值；（2）求.解：由于在点处右连续，所以,即 ， 。 5. 设离散型随机变量的分布律为 (1)(2)分别求出上述各式中的.解：（1）， (2) ，6.已知连续型随机变量的分布函数为 ，求常数和。解：，。7.已知连续型随机变量的概率密度为 ，求常数和概率.解： ， 8.已知连续型随机变量的概率密度为 ，求的分布函数。 解： 9.连续不断地掷一枚均匀的硬币，问至少掷多少次才能使正面至少出现一次的概率不少于0.99.解：， 10 .设每分钟通过某交叉路口的汽车流量服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通
9、过与恰有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率.解：, ，。 11.设每次射击命中目标的概率为0.001，共射击5000次，若表示命中目标的次数。（1）求随机变量的分布律；（2）计算至少有两次命中目标的概率.解：（1） （2）, 12.设随机变量的密度函数为.（1）求常数；（2）求的分布函数。（3）求.解：（1）， （2） （3）13.证明：函数（为正常数）是某个随机变量的密度函数.证明：由于在内，且 ，所以，是某随机变量的概率密度。14.设随机变量的概率密度为，求：（1）的分布函数；（2）求.解：（1） , （2）.15.某种显像管的寿命（单位：千小时）的概率密度为 ，（1
10、）求常数的值；（2）求寿命小于1千小时的概率.解：（1） （2）。16.设，（1）求，.（2）已知，,，求常数.解： （1） （2）查表知， 17.设，求：（1）；（2）；（3）.解： （1） （2） （3）18. 设随机变量服从参数为的泊松分布，记随机变量，求随机变量的分布律.解： .19. 设随机变量的概率密度为， 对独立重复观察三次，求至少有两次观察值不大于的概率.解：用表示观察值不大于的次数，则， 20. 已知电源电压服服从正态分布 ,在电源电压处于, 三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为。（1） 求该电子元件损坏的概率；（2） 已知该电子元件损坏，求电压在的概率 解： (1) (2
11、) 21. 假设自动生产线加工的某种零件的内径服从正态分布，内径小于10或大于12 为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品则亏损，若销售利润与销售零件的内径有下列关系 求的分布律.解： 22. 已知随机变量的分布律为，求的分布律。解： 23. 设随机变量服从上的均匀分布，求的概率密度.解： ， 24. 设随机变量服从参数为的指数分布，令，求随机变量的密度函数.解：， 。 由于，所以当时，；当时，；当时， ，于是 25. 设随机变量，求随机变量的密度函数.解： ， 当时，；当时， ，于是， （ B ）1. 某种电子元件的寿命（单位：小时）的概率密度为 ，（1）求该电子元件能正常使用小时以上的概率；（2）已知该电子元件已经使用了小时，求它还能只用小时的概率。解：（1）； （2） 。 2. 设连续型随机变量的密度函数是偶函数，证明：（1）和有相同的分布；（2）.证明：（1）令，则的分布函数 ，从而的概率密度为 ，所以与具有相同的概率密度。（2） ，令，则 ，所以
