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1、（浙江专版）2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第9节直线与圆锥曲线的位置关系教师用书第九节直线与圆锥曲线的位置关系1直线与圆锥曲线的位置关系设直线l：AxByC0，圆锥曲线C：F(x，y)0，由消去y得到关于x的方程ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线l与圆锥曲线C有2个公共点；0直线l与圆锥曲线C有1个公共点；0直线l与圆锥曲线C有0个公共点(2)当a0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个2圆锥曲线的弦长公式设斜率
2、为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点()(3)过抛物线y22px(p0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.()(4)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点()解析(1)对椭圆是个封闭图形，直线与椭圆只有一个公共点时，一定相切(2)错当直线l与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但不相切(3)对可转化为到准线的距离来证
3、明(3)正确(4)错当直线l为对称轴时，l与抛物线有一个交点答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)直线yk(x1)1与椭圆1的位置关系是()A相交B相切C相离D不确定A直线yk(x1)1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交3已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|()A3B6C9D12B抛物线y28x的焦点为(2,0)，椭圆中c2，又，a4，b2a2c212，从而椭圆方程为1.抛物线y28x的准线为x2，xAxB2，将xA2代入椭圆方程可得|yA|3，由图象可知|AB|2|yA|6.
4、故选B.4已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y22x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为_. 【导学号：51062308】xy10依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y2x1，y2x2，两式相减得yy2(x1x2)，即1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y1x2，即xy10.5(2017杭州质检)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_设P(x，y)(x1)，因为直线xy10平行于渐近线xy0，所以c的最大值为直线xy10与渐近线xy0之间的距离，由两平行线间的距离公式知
5、，该距离为.直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1,0)，且点P(0,1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程解(1)椭圆C1的左焦点为F1(1,0)，所以c1，2分又点P(0,1)在曲线C1上，所以1，得b1，则a2b2c22，所以椭圆C1的方程为y21.6分(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为ykxm，由8分消去y得(12k2)x24kmx2m220.因为直线l与椭圆C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0，整理得
6、2k2m210.12分由消去y得k2x2(2km4)xm20.因为直线l与抛物线C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1.综合，解得或14分所以直线l的方程为yx或yx.15分规律方法1.判定直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x(或y)，判定该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点但应注意两点：(1)消元后需要讨论含x2(或y2)项的系数是否为0；(2)重视“判别式”起的限制作用2对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程变式训练1如图891，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20
7、，抛物线C：y22px(p0)图891(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)当p1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标解(1)抛物线C：y22px(p0)的焦点为.2分由点在直线l：xy20上，得020，即p4.所以抛物线C的方程为y28x.6分(2)当p1时，曲线C：y22x.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0).8分因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb.由消去x，得y22y2b0.(*)12分因为P和Q是抛物线l的两相异点，则y1y2.从
8、而441(2b)8b40.(*)因此y1y22，所以y01.又M(x0，y0)在直线l上，所以x01.所以点M(1，1)，此时b0满足(*)式故线段PQ的中点M的坐标为(1，1).15分直线与圆锥曲线中弦长问题(2017浙江镇海中学模拟)如图892，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且右焦点F(1,0)，且已知直线l的方程为x2.图892(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|2|AB|，求直线AB的方程解(1)由题意且c1，知a，则b1，3分所以椭圆的标准方程为y21.5分(2)当ABx
9、轴时，AB，又CP3，不合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，8分将AB的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则x1,2，C的坐标为，且AB.10分若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意从而k0，故直线PC的方程为y，则P点的坐标为，从而PC.13分因为PC2AB，所以，解得k1.此时直线AB方程为yx1或yx1.15分规律方法1.求弦长时可利用弦长公式，由直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解2当涉及
10、过焦点的弦的问题，可灵活利用圆锥曲线的定义求解变式训练2设椭圆1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若8，求k的值. 【导学号：51062309】解(1)设F(c,0)，由，知ac.过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程有1，解得y，于是，解得b.3分又a2c2b2，从而a，c1，所以椭圆的方程为1.6分(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直线CD的方程为yk(x1)，7分由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x
11、3k260.由于48k2480恒成立，则x1x2，x1x2.9分因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.12分由已知得68，解得k.15分有关弦的中点问题椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点若AB2，O为坐标原点，OC的斜率为，求椭圆的方程解由得(ab)x22bxb10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，3分依题意得axby1，且axby1，两式相减，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0
12、，5分又1，kOC，代入上式可得ba.8分再由|AB|x2x1|x2x1|2，得(x1x2)24x1x24，其中x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，故244，12分将ba代入得a，b.所求椭圆的方程是1.15分规律方法涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出kAB和x1x2，y1y2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想变式训练3已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_x2y80设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)则1，且1，两式相减得.又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.思
13、想与方法1直线与圆锥曲线的位置关系，弦长计算，定点、最值问题很好地渗透函数与方程思想和数形结合思想，是考查数学思想方法的热点题型2涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)3涉及弦中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化易错与防范1直线与圆锥曲线有一个公共点，易误认为直线与曲线一定相切，也可能是直线与双曲线，直线与抛物线相交于一点2“点差法”具有不等价性，要考虑判别式“”是否为正数3涉及定点、定值问题，切忌“特殊代替一般”，盲目简单化课时分层训练(五十一)直线与圆锥曲线的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1直线yx3与双曲线1的交点个数是()A1B2C1或2D0A因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点2已知直线y2(x1)与抛物线C：y24x交于A，B两点，点M(1，m)，若0，则m(
