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1、从培养学生的数学素养谈教材的利用 倍数和因数的教学思考合肥市义城中心小学 李晓波【摘要】：数学教学的根本任务是什么？从我们现阶段课程标准的修订结果来看，由“双基”到“四基”的理念更新，说明基本的数学思想和基本的活动经验已经成为今后一段时间我们在课堂教学中的关注点，这决定着今后的数学课我们教什么。因此，从教数学的角度来说，我们的数学课堂在关注结果的同时，更要关注学生的思维过程，在思维过程中帮助学生运用数学特有的思维方式发现问题、解决问题。所以，努力挖掘教材中所蕴含的数学思想方法、促进学生数学素养的提高、培养学生创新意识将成为我们今后教学的努力方向。【正文】：倍数和因数是学生已经掌握了许多自然数的
2、知识之后，首次接触两个自然数之间相互依存的特殊关系。非零情况下如果自然数之间能够形成AB=C的关系，那么A和B就是自然数C的因数，C是自然数A和B的倍数。本课时主要以理解“AB=C”这种特殊关系为重点，在理解的基础上，用恰当的方法找出一个非零自然数的倍数和因数，并通过这些活动，归纳一个非零自然数倍数和因数的特点，感受探索过程，促进成长。下面从倍数和因数（苏教版数学四年级下册P70-72）一课的教学实录出发，谈一谈关于利用教材从数学教学的本质进行教学的思考。一、从生活中的原型提炼数学本质属性倍数和因数之间的关系是相互依存的，但教材作为学生学习内容的载体，并没有直接告诉学生倍数因数之间的这种特殊关
3、系，而这种关系恰恰是倍数因数概念的本质属性。如果老师把这样的本质关系直接告诉学生，学生的认知将是肤浅的。这种关系的建立需要学生切实体会 “相互依存”的含义。如何寻找这样的突破口，最好的方法就是利用学生已有的认知经验，寻找生活中的原型，帮助学生搭建知识间的桥梁。片段一师：今天老师想知道我们班同学谁和谁是好朋友，你能告诉我吗？生1：我知道姜骏城和王一川是好朋友。生2：我知道徐雅雯和王艺晗是好朋友。师：哦，我知道了姜骏城是好朋友，徐雅雯是好朋友，王一川是好朋友，王艺晗是好朋友学生略显躁动，表示反对。师：难道老师说的话有问题？生：是的。您说的话不对。师：那怎么说才行？生1：必须说清楚谁是谁的好朋友。生
4、2：就一个人怎么能成为好朋友？师：看来好朋友之间的关系是非常密切的，一个人不能成为好朋友，好朋友是两个人之间谁也离不开谁的密切关系。咱们数学中自然数之间也存在着这种谁也离不开谁的密切关系（悟：由学生已有的生活经验出发，从“朋友”概念不能单独成立的特点引入“相互依存”的概念，整堂课的奠基概念在师生不经意间的互动中深入课堂。这是教材所没有提供的背景信息，需要教师在深入研究课题，从接近数学本质的素材中寻找突破口，帮助学生有效参与课堂。）二、从归纳推理中建立数学模型以往的数学教学我们一直在强调“双基”，随着课程改革的不断深入，基本的数学思想和基本的活动经验已逐渐被广大老师所重视。为什么要重视数学思想的
5、教学呢？原因很简单，因为数学思想是数学素养的重要组成部分。什么是数学素养？顾沛先生说，很多年的数学学习后，那些数学公式、定理、解题方法也许都会被忘记，但是形成的数学素养却终身受用。数学素养就是把所学的数学知识都排出或忘掉后剩下的东西。数学思想对人们利用数学解决实际问题起着至关重要的指导作用。数学思想的运用能够有效提高解决问题的效率和质量。因此深入钻研教材，挖掘教材背后的数学本质将成为我们今后一段时间的工作要点，这不仅是数学本身特点决定的，也是培养学生创新意识和能力决定的。本节课中倍数和因数的关系建立实际就是数学中模型思想的具体体现，如果我们能够从模型建立的角度帮助学生理解，不仅有知识的传授，更
6、有数学活动基本经验的积累。1、借助已有知识经验，联系本质关系。教材提供了用方块摆长方形的活动场景，但是没有要求学生摆一摆，而是直接用乘法算式表达摆法。这是对学生已有数学活动经验的尊重和利用。深入分析，用乘法算式摆长方形在思维过程中存在“变”与“不变”的辩证关系，即乘积不变，因数发生变化。这样，活动场景的安排给学生提供了更为灵活和多样的思维载体，这为下一步提炼乘法模型做了有效铺垫。片段二师：老师这里有12个小方块，请大家把它摆成一个长方形，但是有个要求，就是不许直接告诉别人你的摆法，你可以用乘法算式表示你的想法，其他同学来猜，听明白了吗？生1：34=12生：摆了3行，每行4个，或者是摆了4行，每
7、行3个。师：他的摆法是生2：26=12生：摆了2行，每行6个，或者是摆了6行，每行2个。生3：还有112=12生：摆了1行，每行12个，或者是摆了12行，每行1个。（悟：把12个小方块摆成一个长方形，这是学生已有的数学活动经验，因此教材改成用乘法算式表示摆法，如果这里仍然让学生动手摆一摆，不仅仅忽视了学生的学习基础，更是浪费了时间。）师：还有不同的想法吗？每行能摆5个吗？（悟：简单的一句问话，提出质疑。突出了本节课的研究范围是在整除的条件下进行的，教材中虽然没有具体说明，但摆一摆的实践经验已经告诉学生12个小方块摆成一个长方形是没有余数的。）2、简单陈述，预留空间。与传统教材关于倍数因数的表述
8、有所不同，苏教版教材没有把倍数因数的关系描述成如果甲数能够被乙数整除，那么甲数就是乙数的倍数，乙数就是甲数的因数，而是直接呈现43=12这样简单乘法算式。这样的变化存在抽象层次的递进。抽象的第一层次是对数学现象的陈述性表达，第二层次是对数学现象的符号表达。抽象程度的提高为学生提供了更为广阔的思维空间，这也是数学模型思想的价值所在。片段三师：12个同样大小的正方形能摆3种不同的乘法算式，千万别小看这些乘法算式，今天我们研究的内容就在这里。咱们就以第一道乘法算式为例，34=12，12是3的倍数，12也是4的倍数，3和4都是12 的因数。这就是我们今天所要研究的因数和倍数。为了研究方便，研究的自然数
9、不包括零。师板书：因数和倍数（悟：干净的表达，不拖泥带水。留给学生的也是清晰的表象。）3、类比迁移，建立模型。教材由34=12引出倍数因数概念，也是模型的初步建立。再根据26=12和112=12说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数等活动都是在类比迁移中帮助学生逐步熟悉利用乘法模型判断概念，将倍数因数概念紧密地和乘法算式联系起来。但仅仅数字的变化还不能很好地体现乘法模型，必须帮助学生完成模型的进一步抽象，即去数字。片段四师：你能根据26=12和112=12说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？生：12是2的倍数，12也是6的倍数，2和6都是12 的因数。生：12是1的倍数，12是12的倍数，1和12都
10、是12的因数。师：你还能自己出一道乘法算式，让同学说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？师：刚才有位同学在说37=21时，说成21是倍数，3和7是因数。这样可以吗？生：不行，因为没有说清楚21是谁的倍数，3和7是谁的因数。师：应该怎样说？生：应该说成21是3的倍数，21也是7的倍数，3和7都是21的因数。师：观察这些乘法算式，你发现乘法算式和倍数因数有怎样的关系?（学生分组讨论。）生：我们发现两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。师：如果现在用、表示三个不是零的自然数，它们之间能够形成这样的关系：=，你能根据它说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？生：和都是的因数，是的倍数，也是的倍数。师：你
11、能像老师这样也出一道没有数字的乘法算式，让同学们说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？（悟：根据一道乘法算式说出相关联自然数之间倍数因数关系是本节课重点中的精华，有了根据一道乘法算式找出一个数的倍数或一个数的因数的经验积累，逐渐将乘法算式和倍数因数的关系联系起来。从有数字的乘法算式到无数字的乘法算式过渡，逐步将乘法算式抽象化，再从一个无数字的乘法算式向其他乘法算式的过渡，完成表达倍数因数关系的数学模型的建立。）4、简单变形，深化感知一个具有较高数学素养的人在解决问题时具有比较强的推理能力。因此，乘法模型建立以后需要进行必要的推理训练，让学生在变化中进一步感知倍数因数关系，丰富对模型的理解。片段五
12、师：老师这里还有一道除法算式：204=5，你能根据它说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？生：20是4的倍数，20也是5的倍数，4和5都是20的因数。出示：3和18师：你能说一说这两个数谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？生：18是3的倍数，3是18的因数。师：你是怎么知道的？生1：18除以3能够正好除尽。师：还有别的想法吗？生2：因为36=18，所以18是3的倍数，3是18的因数。生3：因为183=6，18是3的倍数，3是18的因数。出示：3、4、18、20、36师：你能从这五个数中选择两个数说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？（悟：模型的变形利用和练习方式的改变，是帮助学生提高发散性思维的一个手段
13、，灵活的思维总是具有一定的发散性。）三、利用模型探究有效方法 最近听了两节倍数和因数的研讨课，老师在处理探究一个数的倍数特点或一个数的因数特点方面，只是强调按一定顺序进行，这样做的好处是不重复不遗漏地找到要找的倍数或因数，进而发现一个数倍数或因数的特点。但是这里仅仅强调有序就可以了吗？教材中探究一个数的倍数特点时使用的是乘法模型，探究一个数的因数特点时使用的是除法模型，这里的变化不仅是算式的变化，更是倍数因数关系模型的灵活使用，是将模型实用化的具体体现。尤其是在探究一对一对地找36的因数时，利用模型大大提高了“找”的效率。我们在强调“有序”的同时更应重视模型的有效利用。片段六师：哪些数是36的
14、因数？学生举例。师：找出36的因数并不难，但是找出36的所有因数，你能做到吗？学生独立地找。交流：生1：从1到36一个一个地找。生2：只要找到几乘几等于36就可以了。师：比如说.生2：比如说：4乘9等于36，4和9都是36的因数。（悟：学生对概念或方法是否理解，最好的方法就是举例子。）师：真了不起！利用乘法算式一对一对地找。你们会这样找吗？生举例找一找。师：为了不重复不遗漏地找出36的所有因数，怎样找比较合理？生：按顺序找。师：对。试一试有顺序地利用刚才一对一对的找法，再找一找。学生第二次独立地找。 师：这样一对一对地找感觉怎么样？生1：比一个一个地找要快一些。生2：感觉比较轻松。（悟：这里的
15、找因数教学是本节课的难点，相对于找一个数的倍数，找一个数的因数的难度主要是在按顺序寻找的过程中存在数的筛选问题，而利用模型一对一对地找就能够提高找的效率。）数学思想的形成与发展以及学生数学素养的提高是一项长期而又艰巨的工作，需要我们持之以恒地训练和长期渗透。数学教材是学生获得数学知识的主要途径，也是数学思想方法附着的载体。因此，对教材背后数学特质的把握是我们把数学课上出“数学味”的必要条件。但这种能力提升也需要我们不断地在实践中积累基本的数学教学经验，敏锐捕捉教材深处的“数学味”，充分发挥教材价值，形成有效的教学策略，进而服务于数学，服务于学生。【参考文献】1 全日制义务教育数学课程标准（修订稿）北京师范大学出版社， 2011年2 顾沛.十个例子讲述数学文化及素养 http:/
