《第三讲：导数与极值.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三讲：导数与极值.doc（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三讲 利用导数求函数的极值1基本概念函数极值的定义：设函数f(x)在点附近有定义，如果对附近的所有点x，都有f(x)f()，我们就说f()是函数f(x)的一个极小值，称为函数f(x)的一个极小值点极大值与极小值统称为极值2基本性质当函数f(x)在点处可导且（1）如果在附近的左侧有，右侧有，那么f()为极大值；（2）如果在附近的左侧有，右侧有，那么f()是极小值3基本方法 求极值的步骤：第1步求导数；第2步求方程的所有实数根；第3步考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化如果的符号由正变负，则f()是极大值；如果由负变正，则f()是极小值第4步给出结论4易错警示（1）可导函数的极值点导
2、数为零，但是导数为零的点不一定是极值点例如，使，但不是极值点。（2）函数的极值点的导数不一定存在，更不一定是导数等于零。（3）极值是一个局部概念，极大值不一定比极小值大【例题精析】考点1：极值的计算例1求函数x3x2x在区间（2,1）上的极大值与极小值变式1：求函数的极值。例2 设函数.（）若曲线在点处与直线相切，求的值；（）求函数的单调区间与极值点.点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力变式2：求函数的极值点考点2：与参数有关的问题例3已知关于x的函数f(x)bx2cxbc在x1处有极值-，试求b、c的值。 变式3、若函数在处取极值
3、（其中），则 ，b= .例4已知函数。（I）求函数的定义域，并判断的单调性；（II）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。c.o.m 点评：本考点主要考查极值与导数之间的关系，考查分类整合思想、推理和运算能力。值得注意的是，可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点 变式4：已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。（I）求函数的解析式；（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.利用导数求函数的极值【同步练习】 班级_姓名_1.下列说法正确的是（ ）A.当f(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极大
4、值B.当f(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极小值C.当f(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极值D.当f(x0)为函数f(x)的极值且f(x0)存在时，则有f(x0)=02.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是（ ）y=x3 y=x2+1 y=|x| y=2xA. B. C. D.3.y=ln2x+2lnx+2的极小值为（ ）A.e1 B.0 C.1 D.14.y=2x33x2+a的极大值为6，那么a等于（ ）A.6 B.0 C.5 D.15、已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.，0 B0，C，0 D0，6、设函数
5、f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)，则f (x)0有()A分别位于区间(1,2)，(2,3)，(3,4)内三个根B四个实根xii(i1,2,3,4)C分别位于区间(0,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)内四个根D分别位于区间(0,1)，(1,2)，(2,3)内三个根7.函数f(x)=x33x2+7的极大值为_.8.曲线y=3x55x3共有_个极值.9.函数y=x3+48x3的极大值为_；极小值为_.10.函数f(x)=x的极大值是_，极小值是_.11.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值.求这个极小值及a、b、c的值.12讨论函
6、数的单调性并求极值13、已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值(1)讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程14、设x1与x2是函数f(x)alnxbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由【变式和同步练习答案】1.D， 提示（1）可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点（2）函数的极值点的导数不一定存在，更不一定导数等于零。（3）极值是一个局部概念，极大值不一定比极小值大2.B ，提示y=|x|利用函数极值的定义3.
7、D ，提示4.A5.A ，提示：f (x)3x22pxq由f (1)0，f(1)0得解得，f(x)x32x2x由f (x)3x24x10得x或x1易得当x时f(x)取极大值当x1时f(x)取极小值0.6.A，提示：由函数f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)可知，f(x)的图象与x轴有四个交点，可知f(x)必有三个极值点，其分别位于(1,2)，(2,3)，(3,4)内，即f (x)0必有三个根分别位于(1,2)，(2,3)，(3,4)内，故应选A.7.7 ，提示：,则f(z)在x=0处取得极大值。8.两 ，提示：9.125；131 10. 0； 11.解：f(x)=3x2+2ax+b.据题意
8、，1，3是方程3x2+2ax+b=0的两个根，由韦达定理得a=3,b=9，f(x)=x33x29x+c，f(1)=7,c=2，极小值f(3)=3333293+2=25，极小值为25，a=3,b=9,c=2.12、解析：令，解得，当变化时，的变化情况如下表：02000极小值极大值极小值所以在，内是增函数，在，内是减函数13、解：(1)f (x)3ax22bx3，依题意f (1)f (1)0，即解得a1，b0.f(x)x33x，f (x)3x233(x1)(x1)若x(，1)或(1，)，则f (x)0，故f(x)在(，1)上是增函数，在(1，)上是增函数. 若x(1,1)，则f (x)0，故f(x
9、)在(1,1)上是减函数. 所以，f(1)2是极大值，f(1)2是极小值(2)曲线方程为yx33x，点A(0,16)不在曲线上. 设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0x3x0.因f (x0)3(x1)，故切线的方程为yy03(x1)(xx0)注意到点A(0,16)在切线上，有16(x3x0)3(x1)(0x0)解得x02.所以切点为M(2，2)，切线方程为9xy160.14、解析(1)f(x)2bx1，由条件知f(1)a2b10，f(2)4b10，a，b.(2)f(x)1.函数定义域为(0，)，列表x(0,1)1(1,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减x1是f(x)的极小值点，x2是f(x)的极大值点6
