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1、二项式定理主讲人：陈逸知识强化一、知识概述二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础这部分知识具有较高的应用价值和思维训练价值二项式定理主要包括：定理本身、通项公式、杨辉三角、二项式系数的性质等二、重难点知识归纳1、二项式定理这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为的二项展开式，的二项展开式共有n1项，其中各项的系数称为二项式系数，称为二项展开式的第r1项，又称为二项式通项对于二项式定理有五点注意事项：不得随意变更展开式中各项的顺序；二项展开式共有 n1项；系数依次为；a的指数从n起依次减少1，直到0为止，而b的指数以0起依次增加1，直到n为止；a、b可以
2、是数，也可以是式（单项式，多项式分式，根式等）2、通项公式的特点：（1）它表示二项展开式的第r1项，该项的二项式系数是，而不是；（2）字母b的次数和组合数的上标相同；（3）a与b的次数之和为n3、二项式系数的性质：（1）对称性：由组合数性质“”可得到对称性，即（2）增减性与最大值：如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大.（3）二项展开式中的二项式系数和为2n，即.（4）二项展开式中奇数项与偶数项的二项式系数和相等，即 .三、典型例题剖析例1、求的展开式中的系数解析：方法一：，x3的系数为1(1)(2)(3)5方法二：利用通
3、项公式，则的通项为，的通项为，令，则或或从而的系数为例2、在的展开式中，求：（1）第5项的二项式系数及第5项的系数；（2）倒数第3项解析：要求展开式中某些特定的项或特定的系数时，可以不必写出全部的展开式，只需利用通项公式即可（1），第5项的二项式系数是，第5项的系数是（2）方法一：展开式中的倒数第3项即为第7项，方法二：在展开式中的倒数第3项就是展开式中的第3项，例3、在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决解：二项式的展开式的通项公式为前三项的r0，1，2得系数为t11，由已知，n8通项公
4、式为，r0，1，2，8，Tr1为有理项，故163r是4的倍数，r0，4，8依次得到有理项为例4、已知，求：（1）a1a2a3a7；（2）a1a3a5a7；（3）a0a2a4a6分析：本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果字母经常取的值有0、1、1等解：（1）取x0可得a01，取x1得a0a1a2a3a7(1)71a1a2a3a72（2）取x1得a0a1a2a3a6a737，记Aa0a2a4a6，Ba1a3a5a7，AB1，AB37可得A(371)1093，B(137)1094从而a1a3a5a71094（3）从（2）的计算已知a0a2a4a61093例5、求证能被64整除分析：考虑到用二项式定理证明，就需要多项式展开后的各项尽量多的含有的式子.因此，可将化成再进行展开，化简即可证得.证明： 多项式展开后的各项含有能被64整除1
