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1、数学是严谨的艺术, 它拒绝一切丑陋和不真。然而, “金无足赤, 人无完人”, 纵然你是学界泰斗, 哪怕你是科坛巨擎, 你总会有闪失(俗说: 老虎也会打盹), 数学家肯定也不例外。我们这儿当然不是议论他们的人品, 而是谈谈他们在数学上的偶然失误。常说“瑕不掩瑜”, 大师的这些失误丝毫不会影响他们光辉, 倒会增加他们的真实与亲切。众所周知: 数学结论(命题、定理、公式、.) 的给出往往是数学家们深思熟虑、甚至终生不懈的努力使然, 而这些结论产生的方法多是由具体的抽象、特例的推广以及不完全归纳所获。因而这其中的失误几乎不可避免。值得一提的是: 由于这些失误出自大家之手, 因而它们往往更具欺骗性且更难
2、为人们所识破, 这一方面是鉴于大师们的权威与声望, 一方面是由于结论或貌似无瑕或难以核验或熟视无睹, 因而要找到推翻命题的反例是困难和艰涩的。本文试图猎取几例以飨读者。我们的目的是想从中学点做数学的道理和方法, 体味数学的魅力与美妙, 当然也会令我们从中悟感数学(乃至整个科学) 发展的艰难与坎坷, 同时更能品鉴数学的严谨与纯真。1. 费尔马(P. de Fermat) 数法国业余数学家费尔马一生有过许多重要数学发现, 这些大多都记录在他研读过的书籍空白处, 他发现的著名命题如:费尔马小定理: 若p 是质数, a Z, 且p 不能整除 a, 则a（p1 ） 1 (mod p)。费尔马大定理: 若
3、n N, 且n 3, 则方程xn + yn = zn 无非平凡整数解。前者为费尔马本人及后来的学者证得; 后者记在他阅读过的丢番图(Diophantus) 所著算术一书的空白处(1637年, 但未给出证明)。四百余年后(1994年), 这一结论为美国普林斯顿大学的数学家韦尔斯(A. J. Wiles) 经近十年潜心研究所解决, 成为上个世纪数学成就中最为耀眼的辉煌、最为美妙的终曲。其中经历的艰辛与磨难令人感叹! 由此他也荣获1996年沃尔夫(R. S. L. Wolf) 奖。正是这位费尔马, 当他验算了Fn = 22n+ 1在n = 0, 1, 2, 3, 4 时分别为:F0 = 3, F1
4、= 5, F2 = 17,F3 = 257, F4 = 65537,发现它们都是质数后便声称:对于任何自然数n, Fn 均给出质数。然而, 1732年欧拉(L. Euler) 指出, 当n = 5时:F5 = 225+ 1 = 641 6700417已不再是质数。1880年, 兰道(Landon) 算得:F6 = 274177 67280421310721亦非质数。1905年莫瑞汉德(J. C. Morehead) 和威斯坦(Western) 证明F7 亦是合数。时至今日, 人们在Fn 型数中除了费尔马给出的五个质数外, 尚未发现其它质数。于是有人(Selfridge) 提出猜测: 15Fn
5、型数中除n = 0, 1, 2, 3, 4 外不会有其它质数。然而此项猜测至今未获证明。下表给出某些Fn 型数的资料: 11 16n 值Fn 研究进展也许你会说，费马猜想之所以会出错，是因为检验的数太少了的缘故，事实上，有的命题即使你一辈子不吃不喝也不能验算完。1644年法国神父、业余数学家梅森在物理学与数学的深思一书中宣称:当p = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257时, 2p1 是质数(下记Mp = 2p1,且称之为梅森数, 其中的质数称梅森质数)。由于梅森本人仅仅验算了其中的前7个, 而后面的一些因其太大而不便核验, 但人们似乎对此笃信不二。1903年美国哥伦比
6、亚大学的科尔(F. N. Cole) 在纽约的一次科学报告会上, 做了一次无声的发言, 他只是在黑板上写到:267 1 = 147573952589676412927= 193707721 761838257287.之后便赢得全场一片经久的掌声。显然, 他否定了梅森数表中p = 67 时267 1 是质数的猜测。1911年, 鲍威尔(R. E. Power) 又发现M89 是质数(梅森数表中漏掉了)。1922年, 克莱希克(M. Kraitchik) 指出M257 亦不是质数(他的证明是非构造性的, 尽管他当时并未找出该数的哪怕任一个质因子)。这正像波兰数学家斯坦因豪斯(H. D. Stein
7、haus)在其名著数学一瞥中记述的(20世纪50年代):七十八位数2257 1 = 231 584 178 474 632 390 847 141 970 017 375 815 706 539969 331 281 128 078 915 168 015 826 259 279 871 是合数, 可以证明它有因子, 尽管人们尚未找到它。它的因子直到1984年才由美国桑迪亚(Sandia) 国家实验室的科学家找到。此后人们寻找梅森质数的工作一直未曾间断, 到2001年11月止, 人们共找到39个梅森质数Mp, 这些p 值分别是:2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107、127
8、、521、607、1279、2203、2281、3217、4253、4423、9689、9941、11213、19937、21701、23209、44497、86243、110503、132049、216091、756839、859433、1257787。显然, 人们至此也相当于找到39个偶完全数。1接下来的问题是: 是否有无穷多个梅森质数? 这一点尚无定论。不过, 1964年吉利斯(D. B. Gillies) 给出下面的猜测: 17 小于x 的梅森质数个数约为2 ln ln xln 2。关于完全数, 由于至今人们找到的全部是偶数, 因而“有无奇完全数存在” 的这样一个话题被提了出来, 这也
9、是一个至今尚未被解开的谜。不过, 1989年布伦特(R. P. Brent) 指出: 18 若奇完全数存在, 则它须大于10160。3. 正交拉丁方猜想据说当年普鲁士腓德烈大帝在阅兵时问欧拉: 从三个不同的兵团各抽出三名不同军衔的军官, 能否把他们排成一个3 3 方阵, 使每行、每列皆有不同兵团、又有不同军衔的代表?问题不难解答, 我们用a, b, c 表示兵团标号, 用A, B, C 表示不同军衔则有下面的布阵方式:aA bC cBbB cA aCcC aB bA对于兵团、军衔种类数为4、5的情形, 人们也不容易找出符合上述要求的方阵排列:aD bA cB dCcC dB aA bDdA c
10、D bC aBbB aC dD cAaA cD dE eB bCdC bB eA cE aDeD aE cC bA dBbE eC aB dD cAcB dA bD aC eE如果兵团、军衔数为6情况又如何? 这便是所谓“36个军官问题”, 欧拉曾于1779年开始研究它。为方便计, 欧拉用大、小写拉丁字母分别表示不同军衔和兵团, 因而这类排方阵问题又有“欧拉拉丁方” 称谓。而所提要求: 每行、每列既有不同军衔又有不同军团代表, 数学称之为“正交”, 如此一来, 问题又可称为“正交拉丁方问题”, 其中兵团或军衔数称为“阶”。欧拉经过一段时间研究和尝试后宣称: 6、10、14、., 一般地2(2k
11、 + 1) 阶正交拉丁方不存在(k N)。1901年塔利(G. Tarry) 用穷举法证得“6阶正交拉丁方不存在”, 这样一来对于欧拉上述猜想人们似乎笃信, 尽管当时尚未有人给出它的证明。20世纪50年代末, 由于科学技术发展而使得正交设计这门学科兴起,它也给正交拉丁方问题研究注入生机。是时, 印度数学家玻色(R. C. Bose) 用射影几何方法证明了结论:若p 是质数(或它们的幂), 则定存在p 阶正交拉丁方完全组(即有p1 个p 阶拉丁方,且它们两两正交)。1958年, 美国数学家帕克(E. T. Parker) 用群论和有限几何的方法, 构造出21阶正交拉丁方。在他的方法启发下, 玻色和史里克汉德(Shrikhande) 给出22阶(即k = 5 时4k + 2型数) 正交拉丁方, 这便否定了欧拉的上述猜测。紧接着他们又构造出10阶(k = 2 时4k + 2型数) 正交拉丁方(见图):同時他們還證明了: 除了n = 2、6外, 任何n 階正交拉丁方都存在。数学直觉是宝贵的，因为数学直觉是数学创造的源泉，数学直觉是数学发现的向导，数学直觉是一种审美能力。但是，数学直觉有时也会让我们“出丑”，勤于思索才是基础。没有这一基础，一切都是空想。
