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1、函数与方程知识要点梳理知识点一、函数的零点1. 函数的零点一般地，如果函数 U 心在实数处的值等于零，即了 （圧）二。，则曲叫做这个函数的零点.要点诠释：函数=了的零点就是方程了二0的实数根，亦即函数刀二了w的图象与誥轴交点的横坐标. 归纳：方程了（耳二0有实数根o函数卩二山的图象与兀轴有交点o函数有零点.2. 二次函数零点的判定二次函数戸心Y的零点个数，方程也宀加+心=0的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点A 0两个不相等的实根两个零点A = 0两个相等的实根一个二重零点A 0无实根无零点3. 二次函数零点的性质 二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号 相邻
2、两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立4. 二次函数的零点的应用 利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图 根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.5. 变号零点与不变号零点如果函数，二了）在一个区间1鼻 釘上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 /了，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点呵亡弘司，使川叼）如 果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变 号零点.知识点二、二分法1.
3、 二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而 得到零点近似值的方法.2. 用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数卩二佝定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它满足给定的精确度.第-步：在d内取-个闭区间也上，使o与小）异号，即孑，零点位于 区间u中.第二步：取区间何如的中点，则此中点对应的坐标为闻二附+土（兔-呦）二兔）计算/（況）和/（%），并判断： 如果了山）二,则张就是了的零点，计算终止； 如果心）卜， 则零点位于区间帆內中，令爲二也二心; 如果0“， 则零点位于区间叼如中，令呦二心他二第三步：取区间网对的中点，则此中
4、点对应的坐标为兀二昭+（现_衍）二（阿+外）计算O和心），并判断: 如果了山）=,则帀就是了的零点，计算终止； 如果了丿山）13,则零点位于区间血珂中，令爲二丛二两； 如果了 】了山）,则零点位于区间価中，令旳二也訥；继续实施上述步骤，直到区间叫如，函数的零点总位于区间何如上，当比和氏按照给定的精确度 所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数=心的近似零点，计算终止这时函数=佝的近 似零点满足给定的精确度.三、规律方法指导1如何求函数的零点？北洋教育 答：求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与兀轴交点的横坐标.2如果函数$=畑在其定义域内为单调函数，则函数$ = 畑在其定义域内最多有
5、几个零点?答：单调函数在其定义域内最多有一个零点.经典例题透析类型一、求函数的零点1.求下列函数的零点. ；WT.(3) f (x)二 2x -1举一反三:【变式1】求函数：尹一戸的零点.练习1求函数f (x)二lg(x -1)的零点.2 x - 2设函数fx)=X G 严1)，则函数f(k)d4的零点是x e (-4类型二、确定函数零点的个数j.02.二次函数中，酬V。，则函数的零点的个数是(局A. l B.2 C.O D.无法确定练习1.函数f(x) =(x_1)lnxx3的零点有A. 0个C. 2个B. 1个D. 3个函数f(x)x 2+2 x3,=0, f(1)f(2)f(4)V0,贝
6、9下列命题正确的是().A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点2 .设函数 f(x) = x3 + bx + c 是-1,1上的增函数，且 f( |)f(2) V 0，则方程 f(x) = 0 在-1,1内B. 函数f(x)在区间(1, 2)内有零点C. 函数f(x)在区间(0, 2)内有零点D. 函数f(x)在区间(0, 4)内有零点5.(2009天津高考)设函数fx)=3xlnx(x0),则 y=fx)()A. 在区间(占1), (1, e)内均有零点B. 在区间(；,1), (1, e)内均无零点C. 在区间(；,1)内有零点，在区间(1, e)内无零点D. 在区间(；,1)内无零点，
7、在区间(1, e)内有零点类型四、用二分法求函数的零点的近似值1. 如图所示，以下每个函数都有零点，但不能用二分法求图中函数零点的是/ (x =2x2 - 3x - 63求函数的一个正数零点(精确到0.1).举一反三：【变式1】用二分法求函数的一个正零点(精确到)类型四、用二分法解决实际问题曲4.中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会,北洋教育 如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标某次猜一种品牌的手机，手机价格在5001000元之间，选手 开始报价：1000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了； 700元，低了； 880元，高了
8、； 850元，低了； 851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学 思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？学习成果测评基础达标一、选择题1.（2011东北四市6）已知函数=有唯一零点，贝y下列区间必存在零点的是（）A.C.2有两个互为相反数的零点的函数（）A.只能是偶函数B.可以是奇函数C.可以是增函数D.可以是减函数3. （2011广东广州3月6）若函数没有零点，则实数出的取值范围是（）A严刘b.“ c.41 d.位4设函数是-1,1上的增函数，且，则方程川力=在T, 1内（）A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根C.
9、有唯一的实数根D.没有实数根5若已知佝V。糾八,则下列说法中正确的是（）A. S）在仏）上必有且只有一个零点B. 了 X）在仏色）上必有正奇数个零点c. 了在佔 上必有正偶数个零点D.S）在仏可上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点6函数）“ 一弘+ 2在区间g内的函数值（）A.大于等于0 B.小于等于0 C.大于0 D.小于0二、填空题一1. 三次方程十-1二。在下列连续整数之间有根.2与-1 -1与00与1 1与2 2与32. 函数*的零点是.三、解答题庄：1.用二分法求扌2 = 0在区间L1匀的一个实根（精确到0.01）.高考真题【变式2】（2011山东理16）已知函护二吨且1）,当吕 时，函数”）的零点心Eg+1）牛，则.
