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1、第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛总 分决赛试题A（初一组）（时间: 2010年4月10日10:0011:30）一、填空题 (每题10分, 共80分) 1.互不相等的有理数a, b, c在数轴上的对应点分别为A, B, C. 如果,那么在点A, B, C中, 居中的是点 .2.右图所示的立体图形由9个棱长为1的正方体木块搭成, 这个立体图形的表面积为 .3.汽车A从甲站出发开往乙站, 同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站, 途中A与B相遇后15分钟再与C相遇. 已知 A、B、C 的速度分别是每小时90km, 80km, 70km, 那么甲乙两站的路程是 km.4.把自然数 分组, 要求每
2、组内任意3个数的最大公约数为1, 则至少需要分成 组.5.已知正n边形的内角度数的两倍为整数, 那么这样的正整数n有 个.6.已知 , 则的值等于 .7.六人参加乒乓球比赛, 每两人赛一场, 分胜负, 无平局. 最终他们胜的场数分别是a, b, b, c, d, d, 且, 那么a等于 .8.某中学新建游泳池开启使用, 先用一天时间匀速将空游泳池注满, 经两天的处理后同速将水放光; 然后开始同速注水, 注满一半时, 将注水速度加倍直到注满. 请在下图中用图表示游泳池中水量随时间的变化关系.二、解答下列各题 (每题10分, 共40分, 要求写出简要过程)9.能否找到7个整数, 使得这7个整数沿圆
3、周排成一圈后, 任3个相邻数的和都等29 ? 如果能, 请举一例. 如果不能, 请简述理由.10.已知k 是满足 的整数, 并且使二元一次方程组有整数解. 问: 这样的整数k有多少个?11.所有以质数p为分母的最简真分数的和记为m, 所有以质数 q为分母的最简真分数的和记为n. 若, 求的可能值.12.解方程,其中 x 表示不大于x的最大整数.三、解答下列各题 (每题15分, 共30分, 要求写出详细过程)13.右图中, ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB的面积之和等于六边形ABCDEF的面积. 又图中的6个阴影三角形面积之和等于六边形ABCDEF的面积的. 求六边形的面
4、积与六边形ABCDEF的面积之比.装订线14.一个单项式加上多项式 后等于一个整式的平方, 试求所有这样的单项式.第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（初一组）一、填空 (每题10分, 共80分)题号1234567答案A326805032858. 解答. 二、解答下列各题 (每题10分, 共40分, 要求写出简要过程)9. 答案: 不能.解答. 假设存在7个整数排成一圈后, 满足任3个相邻数的和都等于29. 则, , , , , .将上述7式相加, 得所以,与为整数矛盾! 所以不存在满足题设要求的7个整数.10. 答案: 2.解答. 直接解方程组,.当 (其中m和n是整数) (1
5、)时方程组有整数解. 消去上面方程中的k, 得到 . (2)从(2)解得 (其中l是整数). (3)将(3)代入(1)中一个方程, .解不等式, , .因此共有2个k值使原方程有整数解.11. 答案: 49, 14. 96.5（96.5可答可不答）解答. 因为为质数, 所以为最简真分数, 所以.同理可得.所以首先, 因为上式右端3的因子只有一个, 所以 p和 q不可能相等, 不妨设. 因为=,所以p和 q可以是以下情形:, 对应的;, 对应的.12. 答案: .解答. 当时, 有. 当时, 有. 由于,可以断言, 如果方程有正数解 x, 则. 因此, 是不可能的.另一方面,可以断言, 如果方程
6、有负数解 x, 则. 因此, , , .故原方程的解为.三、解答下列各题 (每题15分, 共30分, 要求写出详细过程)13. 答案: .解答. 记六边形的面积为S, 图中阴影部分的面积为S1; 记 ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB的面积之和为S2, 由这六个三角形组成的图形除去阴影部分的面积为S3, 由题设条件可知S2 =, S1 =.在计算S2时, 加了两次S3, 所以 , 从而得.又,所以.故.14. 答案: , 或8x, 或32x, 或.解答. 设所求的单项式是 , .共有3个不为同类项的单项式, 如果 , 则多项式+中不为同类项的单项式有4项, 不可能写为两个不为同类项的单项式和的平方, 如果写成至少有3项不为同类项的单项式和的平方, 则展开后, 至少有5个不为同类项的单项式, 所以, 得到.所求的单项式为, 或8x, 或32x, 或, 再无其他解答.
