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1、2021高考理科数学必考点解题方法秘籍：方程与函数一、知识导学1两点间的距离公式:不管A(1，1)，B(2，2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|21|或|AB|=|2-1|.2定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(1，1)，B(2，2)，P(，)之间数量关系的一个公式，其中的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后的值也就随之确定了.假设以A为起点，B为终点，P为分点，那么定比分点公式是.当P点为AB的中点时，=1，此时中点坐标公式是.3直线的倾斜角和斜率的关系1每一条直线都
2、有倾斜角，但不一定有斜率.2斜率存在的直线，其斜率与倾斜角之间的关系是=tan.4确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.名称方程说明适用条件斜截式为直线的斜率b为直线的纵截距倾斜角为90的直线不能用此式点斜式() 为直线上的点，为直线的斜率倾斜角为90的直线不能用此式两点式=()，()是直线上两个点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+=1为直线的横截距b为直线的纵截距过0，0及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式，分别为斜率、横截距和纵截距A、B不全为零5两条直线的夹角。当两直线的斜率,都存在且 -1时，tan=，当直线的斜率不存在
3、时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角公式与“夹角公式的区别.6怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，假设两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；假设直线的斜率不存在，那么必须用一般式的平行垂直条件来判断.1斜率存在且不重合的两条直线1， 2，有以下结论：12=，且1212= -12对于直线1，2 ，当1，2，1，2都不为零时，有以下结论：12=1212+12 = 01与2相交1与2重合=7点到直线的距离公式.1一点P及一条直线：，那么点P到直线的距离d=；2两平行直线1: ， 2: 之间的距离d=.8确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两
4、种形式之间的相互转化及相互联系1圆的标准方程：，其中，b是圆心坐标，是圆的半径；2圆的一般方程：0，圆心坐标为-，-，半径为=.二、疑难知识导析1直线与圆的位置关系的判定方法.1方法一直线：；圆：.一元二次方程2方法二直线: ；圆：，圆心，b到直线的距离为d=2两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为1，2，|O1O2|为圆心距，那么两圆位置关系如下：|O1O2|1+2两圆外离；|O1O2|=1+2两圆外切；| 1-2|O1O2|1+2两圆相交；| O1O2 |=|1-2|两圆内切；0| O1O2| 1-2|两圆内含.三、经典例题导讲例1直线l经过P2,3,且在x,y轴
5、上的截距相等,试求该直线方程.错解：设直线方程为:,又过P(2,3),求得a=5 直线方程为x+y-5=0.错因：直线方程的截距式: 的条件是:0且b0,此题忽略了这一情形.正解：在原解的根底上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:,直线方程为y=x综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=x .例2动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.错解：设动点P坐标为(x,y).由3 化简3=x2-2x+1+y2-6y+9 . 当x0时得x2-5x+y2-6y+10=0 . 当x0时得x2+ x+y2-6y+10=0 . 错因：上述过程清楚点到
6、y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得(x-)2+(y-3)2 = 和 (x+)2+(y-3)2 = - 两个平方数之和不可能为负数,故方程的情况不会出现.正解：接前面的过程,方程化为(x-)2+(y-3)2 = ,方程化为(x+)2+(y-3)2 = - ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x-)2+(y-3)2 = (x0)例3m是什么数时，关于x,y的方程2m2+m-1x2+m2-m+2y2+m+2=0的图象表示一个圆？错解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C0， 得2m2
7、+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3， 当m=1或m=-3时，x2和y2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆错因：A=C，是Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：A=C0且0.正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，(1) 当m=1时，方程为2x2+2y2=-3不合题意，舍去.(2) 当m=-3时，方程为14x2+14y2=1,即x2+y2=,原方程的图形表示圆.例4自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其
8、反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+70相切，求光线L所在的直线方程.错解：设反射光线为L,由于L和L关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A(-3，-3)，于是L过A(-3，-3).设L的斜率为k，那么L的方程为y-(-3)kx-(-3)，即kx-y+3k-30，圆方程即(x-2)2+(y-2)21，圆心O的坐标为(2，2)，半径r1因L和圆相切，那么O到L的距离等于半径r1即整理得12k2-25k+120解得kL的方程为y+3(x+3)即4x-3y+30因L和L关于x轴对称故L的方程为4x+3y+30.错因：漏解正解：设反射光线为L,由于L和L关于x轴对称，L过点
9、A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A(-3，-3)，于是L过A(-3，-3).设L的斜率为k，那么L的方程为y-(-3)kx-(-3)，即kx-y+3k-30，圆方程即(x-2)2+(y-2)21，圆心O的坐标为(2，2)，半径r1因L和圆相切，那么O到L的距离等于半径r1即整理得12k2-25k+120解得k或kL的方程为y+3(x+3);或y+3(x+3)。即4x-3y+30或3x-4y-30因L和L关于x轴对称故L的方程为4x+3y+30或3x+4y-30.例5求过直线和圆的交点，且满足以下条件之一的圆的方程：1 过原点；2有最小面积.解：设所求圆的方程是： 即：1因为圆过原点，所以，
10、即故所求圆的方程为：.2 将圆系方程化为标准式，有：当其半径最小时，圆的面积最小，此时为所求.故满足条件的圆的方程是.点评：1直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。2面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.例606年辽宁理科点A()，B()0是抛物线上的两个动点，O是坐标原点，向量满足.设圆C的方程为1证明线段AB是圆C的直径；2当圆C的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值.解：1证明，22，整理得：00设M是以线段AB为直径的圆上的任意一点，那么0即0整理得：故线段AB是圆C的直径.2设圆C的圆心为C，那么，又0，0
11、，04所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线的距离为，那么当时，有最小值，由题设得2.四、典型习题导练1直线截圆得的劣弧所对的圆心角为 A.B.C.D.2.直线x=a(a0)和圆(x-1)2+y2=4相切，那么a的值是( ) B.4 C.3 3. 如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2，那么的最大值为： .4.设正方形ABCDA、B、C、D顺时针排列的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0a9，C、D点所在直线l的斜率为.1求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；2如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程；3如果ABCD的
12、外接圆半径为2，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程.5.如图，圆C：x+42+y2=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于A、B两点，点P为(-3，0).1假设点D坐标为0，3，求APB的正切值；2当点D在y轴上运动时，求APB的正切值的最大值；3在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由.圆锥曲线一、知识导学1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长定长大于两定点间的距离的动点的轨迹2椭圆的标准方程：， 3椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离
13、的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式4椭圆的准线方程对于，左准线；右准线对于，下准线；上准线焦参数椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 6椭圆的参数方程7双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数小于的动点的轨迹叫双曲线 即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距8双曲线的标准方程及特点： 1双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种： 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)； 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)(2)有关系式成立，且其中与b的大小关系:可以为9焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上10双曲线的几何性质：1范围、对称性 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-,x=之间没有图象，从纵
