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1、简单的线性规划典型例题例1画出不等式组x + y 2 W 0,x + y 4 0 x 3 y + 3 0.分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区-不等式x + y 2 0表示直线x + y 2 = 0下方的区域(包括边界)，即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法例 2画出2x 3 y 3表示的区域，并求所 有的正整数解( , ) ( x , y)分析：原不等式等价于y 0, y 0,有限制条件，即求Jx e z, y e z, y 2x - 3, y 3.解：依照二兀一次不等式表示
2、的平面区域，知2x-3 y 0, y0,xe z, y e z, 所表示 y2x-3,y3.的平面区域，如图所示对于2x - 3 y 3的正整数解，先画出不等式组容易求得，在其区域内的整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3) 说明： 这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不 等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来 例 3求不等式组|y - |x +1 -1所表示的平面区域的面积.y |x + 1 - 1可化为 y x(x -1)或 y -x - 2(x -1)；不等式y - +1可化为 y 0)或 y x +1( x -1) ,AC： y = -
3、x- 2(x 0) , DF： y = x +1(x 0)则不等式组所表示的平面区域如图由于AB与ac、DE与DF互相垂直，所以平面区域是一个矩形根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为所以其面积为3 例42、2 x + y -12 0,、右x、y满足条件 0,求z = x + 2y的最大值和最小、x - 4y +10 0所表示平面区域内，同时在不等 式2x + y + 6 0所表示的平面区域内同时又在不等式2x_ y + 2 0,所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组”x + y + 6 0,表2 x y + 2 0 ， x + y 10 0,得可行域(如图所示)为z =
4、x 2 + y 2 x + y -10 0,而(0,0)到 x + y 5 = 0 , x + y 10 = 0说明：题目中的目标函数是非线性的解决的方法类似于线性规例7划问题可做出图，利用图进行直观的分析_ _f4 x + 3 y - 20 0,设z = 7x + 5y式中的变量x、y满足下列条件 x - 3y - 2 0,求zx e N*,y e N*.的最大值分析：先作出不等式组所表示的可行域，需要注意的是这里的x、y e N *，故只是可行域内的整数点，然后作出与直线7x + 5y = 0平等 的直线再进行观察解：作出直线i :x + 3y - 20 = 0和直线1 : x - 3y
5、- 2 = 0，得可行域如12图所示解方程组J4x + 3y-20二0得交点A(呈4).x-3y-2二05，5又作直线1：7x + 5 y = 0，平等移动过点A时，7x + 5 y取最大值，然而点 A 不是整数点，故对应的 z 值不是最优解，此时过点 A 的直线为7x + 5 y = 34 4，应考虑可行域中距离直线 7 x + 5 y = 34 4最近的整点，即B(2,4) /有z = 7x2 + 5x4 = 34，应注意不是找距点A最近的整点，如(B)点C(4,1)为可行域中距A最近的整点，但z = 7x4 + 5x 1 = 33，它小于(C)z，故 z 的最大值为 34(B)说明： 解
6、决这类题的关键是在可行域内找准整点若将线性目标例8函数改为非线性目标函数呢？x 4y W 3,设z = x2 + y2 /式中的变量x、y满足3x + 5y 1.值、最小值分析：作出不等式组所表示的平面区域，本题的关键是目标函数z二x2 + y2应理解为可行域中的点与坐标原点的距离的平方.解：作出直线,x 4y + 3 = 0，2：3x + 5y 25 = 0，lg x = 1 得到如图 所示的可行域由 Ix-4y + 3 = 0 得aq,2)13x + 5 y - 25 二 0由 Ix - 4 y + 3 二 0 得 c(1,1)1 x 二 1 由严 + 5y -25 二 0得22).x 二
7、 1，5由图可知：当(x, y)为点C(1,1)时，z取最小值为2 ；当(x, y)为点 A(5,2)时，z取最大值29 .说明：若将该题中的目标函数改为z =兰，如何来求z的最大值、y最小值呢？请自己探求(将目标函数理解为点(x, y)与点(0,0)边线的 斜率)例9y 0 , z 0 ； p = -3x + y + 2z / q = x - 2 y + 4 z , x + y + z = 1 ,用图表示出点(p , q)的范围.分析：题目中的p , q与x , y , z是线性关系可借助于x , yz的范围确定(p , q)的范围.3x - y - 2 z = - p, 解：由 0 , y
8、 0 , z 0 得6 p - q - 8 0, o,做出不等式所示平面区域如图所示.3p + 4q + 5 0,说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的x , y，z的取值范围借助于三元一次方程组分别求出x , y , z，从而求出p , q所满足的不 等式组找出(p , q)的范围.例 10某糖果厂生产A、B两种糖果，A种糖果每箱获利润40元，B种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：分钟)混合烹调包装A153B241每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12 机器小时，烹 调的设备至多只能用机器 30 机器小时，包装的设备
9、只能用机器 15 机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润分析：找约束条件，建立目标函数解：设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润z元，则此x + 2 y 7205x + 4y 1800问题的数学模式在约束条件卜+ y 0、y 0的最大值，作出可行域，其边界OA: y = 0AB :3x + y - 900 = 0BC: 5x + 4y -1800 = 00A rCD: x + 2y - 720 = 0DO: x = 0由z = 40x + 50y得y = - x + ，它表示斜率为550-1，截距为三的平行直线系，三越大，z越大，55050从而可知过C点时截距最大，z取得了最大
10、值.解方程组 Jx+2y=720 n C（120 300） 5 x + 4 y = 1800zmax40 x 120 + 50 x 300 = 19800即生产A种糖果120箱生产B种糖果300箱，可得最大利润19800元说明：由于生产a种糖果120箱，生产b种糖果300箱，就使得 两种糖果共计使用的混合时间为120 + 2x300二720 （分），烹调时 间 5x120 + 4x300 = 180（分）包装时间 3x120 + 300 = 66（分）, 这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包 装设备却有 240 分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成 了该问题的“
11、松驰”部分，有待于改进研究例11 甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表:甲乙丙维生素A （单位/千克）600700400维生素B （单位/千克）800400500成本（兀/千克）1194某食物营养硏究所想用x千克甲种食物，y千克乙种食物，z千 克丙种食物配成 100 千克的混合食物，并使混合食物至少含56000 单位维生素A和63000单位维生素B（1 ）用x、y表示混合物成本 C .（2）确定x、y、z的值，使成本最低.分析：找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解解：（1 ）依题意：x、y、z满足 x + y + z = 100 n z = 100 - x - y 成本C = llx + 9y + 4z = 7x + 5y + 400 （兀）
