《例说一元二次方程在代数式求值题中的三点应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《例说一元二次方程在代数式求值题中的三点应用.doc（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、适用栏目：竞赛广场 适用年级：九年级例说一元二次方程在代数式求值题中的三点应用 李培华广东省化州市文楼中学 525136一元二次方程在代数式求值题中有着广泛应用。下面本文结合全国各类竞赛题介绍其三点重要应用，供同学们借鉴：1直接应用即通过整体思想，把一元二次方程作为零值多项式作整体代入求解。例1（1998年全国初中数学联赛卷试题）已知，那么代数式的值是_解： 例2（2004年“五羊杯”数学竞赛初三卷试题）设，则=（ ） A 7 B C D0解： 故选D例3（2006年希望杯全国数学竞赛初二卷第1试试题）已知，则分式 的值等于_ 解：，则 对此方程两边平方得即 故小结：直接应用一元二次方程求解代
2、数式求值问题的关键在对所要求值的多项式进行因式分解。像例1紧扣题设一元二次方程的形式，先对所要求值的代数式加减相同项，然后利用分组分解法和提公因式法进行因式分解，分解出含有题设一元二次方程的因式，最后将此一元二次方程作整体代入求值；例2先对所要求解的代数式配凑成平方差公式形式，然后利用平方差公式分解出含有题设一元二次方程的因式，从而把求值问题简单化；而例三由于是含有“”的无理数，因此先对进行平方变形，变成含有的一元二次方程，然后对所要求解的代数式进行因式分解，从而化难为易。2间接应用即结合题设条件，通过构造思想，构造出符合题意的一元二次方程，然后利用此一元二次方程的根与系数的关系式解题。例4（
3、2007年“五羊杯”数学竞赛初三卷试题）设一元二次方程的两根是，则=（ ）A 1 B0 C D4解：是一元二次方程的两个实根 且由根与系数的关系式得 故选D例5（1991年希望杯全国数学竞赛初二卷第2试试题）已知，且，则=_解：依题意知，是的一个根，是的一个根，则是即的根，从而知和是的两个根，再由根与系数的关系式得例6（1999年全国数学联赛卷试题）已知，且，则=_ 解：即，由此联想到一元二次方程的判别式公式并发现一元二次方程有两个相等的实根，再仔细观察此方程，发现1是此方程的根 即从而小结：根与系数的关系式是一元二次方程的重要性质，也是打开代数式求值问题大门的有效钥匙。像例4利用根与系数的关
4、系式逐步转化，从而快速找到破解途径；例5则由繁杂的等式构造与之相符的一元二次方程，再结合根与系数的关系式求解，从而把问题化繁为简；而例6则由陌生的等式联想到一元二次方程的判别式，构造相应的一元二次方程，通过观察发现此方程有两个相等的实根“1”，再由根与系数的关系式求值，从而把问题化陌生为熟悉。3变式应用即通过等价转化思想，对题设条件的一元二次方程作如下四种变形处理，然后利用变形后的代数式解题。；例7（1995年全国初中数学联赛卷试题）已知是方程的根，则的值等于_ 解：是方程的根 则 例8（2007年希望杯全国数学竞赛初二卷第2试试题）若，则的值是（ ） A8 B C D 解：依题意知，则有 由得，则 从而有 故选C 例9（2006年“五羊杯”数学竞赛初三卷试题）已知，那么=（ ） A3 B C D 解：由得 故选A 小结：一元二次方程变形后的代数式也是求解代数式求值问题的重要工具。像例7、例8和例9通过灵活运用一元二次方程变形后的代数式，从而使得解题过程顺利进行。 综上可见，灵活应用一元二次方程求解代数式求值问题是非常巧妙的。因此，对于代数式求值题，我们要仔细观察其特点，恰如其分地应用一元二次方程，这样代数式求值问题便迎刃而解。1
