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1、2013年全国高中数学联赛预赛模拟训练（一）1、函数的最小值等于_解：因为所以的最小值为1.2、已知，其中为常数，且.若为常数，则的值_解：由于是常数，故，且. 将代入整理得，分解因式得. 若，则，因此，与条件相矛盾. 故，即3、已知方程有两个相异的正实数解，则实数的取值范围是_令，则原方程化为. 根据题意，方程有两个大于1的相异实根.令，则4、将2个和2个共4个字母填在44方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有_解：使得2个既不同行也不同列的填法有种，使得2个既不同行也不同列的填法有种，故由乘法原理，这样的填法共有种.其中不合要
2、求的有两种情况：2个所在的方格内都填有的情况有72种；2个所在的方格内恰有1个方格填有的情况有种.所以，符合条件的填法共有种.5、一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为，则该梯形的周长为_解：设梯形的上底长为，下底长为，高为，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为，因此，即. 同理有，两式相除得，去分母化简得，代入得.注意到直角腰长等于高，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为. 将代入化简得. 结合可解得，因此，由勾股定理知另一条腰的长度为，因此梯形的周长为.6、
3、设为实数，则_解法一：解法二：令，则因为，所以时，7、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 解：不超过2012的只有三个正因数的正整数，就是质数的平方，而因此这样的数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43 的平方这14个8、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数，满足条件“”的概率是 解：由题只有四种情况时只能，所以有两种情况：时只能，所以有两种情况：时，可任取1,2,3中的任意排列（不重复），故有种情况时，可任取1,2,3中的任意排列（不重复），故有种情况故共有16种情况，故概率为9、设函数，（I）求函数在上的最大值与最小
4、值；（II）若实数使得对任意恒成立，求的值解：（I）由条件知， （5分）由知，于是所以时，有最小值；当时，有最大值 （10分）（II）由条件可知对任意的恒成立， , （15分）由知或.若时，则由知，这与矛盾！若，则（舍去），解得，所以， （20分）10、给定两个数列，满足， .证明对于任意的自然数n，都存在自然数，使得. 解答：由已知得到：为等比数列，首项为2，公比为2， 所以. -10分又由已知，由， 所以取即可. - 20分 11、求出所有的函数使得对于所有，都能被整除.解：根据题目的条件，令，则能被整除.因此能被整除，也就是能被整除.因为与互素，所以能被整除，且，所以，.10分令，则能被整除，因此.从而，对所有x.令，则能被整除.从而，对所有y.综上所述，对所有x.20分
