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1、|二次根式化简的常用技巧解题技巧江苏 朱元生二次根式的化简和运算是初中数学的重要内容之一,也是中考和数学竞赛中的常见题型. 对于特殊的二次根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外 ,还应根据根式的具体结构特 征,灵活选用一些特殊的方法和技巧.这样做,不仅可以化难为易、化繁为简,提高解题速度, 收到事半功倍的奇效,而且有助于培养学生分析问题、解决问题的能力及探索求新的学习习 惯.现就几类常用的方法和技巧举例说明如下,供同学们参考：一、巧用乘法公式 _例 1、化简：（：2 + v3 + *5）（3.2 + 2、：3 -3）解析：本题的关键是对第二个因式提取“6后，易发现与第一个因式的数量关系，再变
2、 形为两数和与两数差的形式，从而运用平方差公式 _ 原式二（、：2 + v3 + /5） - 6 - （ 3 + ：2 v5） =、：6（：2 + 匸3） + 丫5（*：2 + 3） 丫5*6（訂 + 3）2 訐2=叮6（2 + 2語 + 3 5）=、迢-2*6 = 12练习：化简：C5 +、石 +茴）（5 + .6-、亓）（5 +、订466 +苗-、第）解：原式=幺+76)S)|G? )(/6躬)=C + -30 ).30-4 )二、巧用逆运算_例 3、化简(2 2 + 3)2008 (2叮2 3)2009解析：本题的关键是巧甩积的乘方的逆运算：anbn= (ab) n _原式=(21 +
3、3) 2008 (/2 3)2008 (/2 3)二(/2 + 3)(22 3)2008 ( 2心2 3) =(1)(2厲3)二 2迈3练习：化简：(3+2999解：原式=G + 2迈)(-2迈叽2迈) =(9 8)1993 2、辽)=3 2 迈.三、巧因式分解对“分式型”代数式,分子分母都是多项式时,有时可以先分别因式分解,通过约分达到化简 目的.例2、化简8 + 2皿7 75 + .3 - 2解析：本题的关键是将分子中的8 拆数配方因式分解，进而约分求得结果. -5丿+ 2頁勇+ V 3丿一J0 -訴45+/32=C5 + 爲）G + V3 原式二=（5 + 爲）迈（5 + j35 +寿-
4、迈化简：&+少 五_$。分析：该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算，可惜运算量太大，不宜采取但我们发现（x-y）和（x+y2历）可以在实数范围内进行因式分解，所以有下列做法。 茁+ ）（石-亦）（启解：原式=6-&-茁=0.练习：化简-送v21 + 帀 - J15 .10解：原式=y;7G3 + 込）-后花 + -.2）7 -技6;3 +込）商-后）=：3 .2. 3 + 右 21 + 2 爲 +p5（1+ 帯3）（：3 + ：5）J5 +訐解：（1）J币+ 肩 +15 +迈! _ 历（迈+ 3）+、呂（、迂+吕=3 - 21+23+45-（1+T3）+（43+45） -1+1_ 5
5、-1迈+爲-弱原式=（2 +爲-迈+爲+-2比G2 + 丁3 + 筋）=2訂 + 3迈 +30（1+3）（朽 +；5）（1+同（3 + 詡 3 + 5 1 +訂 2说明：对分母中含二次根式个数较多的式子进行分母有理化，需要较强的观察能力和灵活掌 握式子变形的一些技巧。如本例（ 2），采用因式分解，就容易找到有理化因式；本例（ 4） 逆用分式加法法则，将原式拆成两个式子的和，就容易进行分母有理化。 练：把下列各式分母有理化：121-迈+訂-*运解：（1）1+迈-、：3 -、拓（2）原式=（1-湮）+腐（1-杨）-（r2）（i+四、巧拆项、裂项 添项 对于一些连续相加的分式型二次根式,如果拆项后能
6、互相抵消,则可用此法.例 4、化简7 + 2 叮6 + .；5v30 + 63542解析：本题的关键是将分子中的2-6拆成+衫6，分母因式分解，进而裂项化简原式_（勺7 +i6） + （弋6 + 恋5）_ G,;7 +七6） + （弋6 + 寸5）八 a、帀（、污 + 空6）+ 7（頁 + 46）（厉 + 46）（46 + -J7）7 + 46、:6 + ：511= + _ + （、百 + 6）（46 + 47）（J5 +46）（46 + /7）v6 +57 + /6=（詔+ （、订、_万-込练习 1、化简：Gs+羽）+3 -1） 解：原式_ （疔+；治-J1丄1打-1 弱+ 33 +15 為
7、5 +1+2 2 2练习2、化简一+-+-2 + J 2 3J2 + 2J32004J2003 + 200320041解:因为（n +1） y n + ntn +1叮 n(n +1)(% n +1 + n)n +1 - nJn(n +1)_丄-n -n +1所以康式=(1-下1O&Z=1- r_72004巧添项例 6化简：240v 2 +、”：5 + : 7解：原式2 + 2.10 + 5 - 7C2 +弱+、行)(2 +、厉-締)化简：2*6迈 + j3 + 5分析：本题若直接分母有理化显然较复杂，若将分子添加22)2 + (爲)2-(語)2，利用完全平方公式和平方差公式来解决，则会非常简捷
8、.边2J6()2 + (J3)2 + 2J6 - &5)2 (迈 + (3)2 - g/5)2、辽 + 七：3 + y（ C ） x=ya + b - c+ Z,y = +=,贝y X与y 的大小关系为( )c ab vbc ac(B) xVy解：设m二丄,n =va(D)随a、b、c的取值变化而定-i,k = -,贝 Vx = m2 + n2 + k2, y = mn + nk + mk. b c因为m2 + n2 + k2 - mn - nk - mk = m - n)2 + (n - k)2 + (m - k)2 2又因为a丰b丰c,从而m丰n丰k,所以m2 + n2 + k2 - mn
9、 - nk - mkO.故 m2 + n2 + k2mn + nk + mk,答案为(A)。练习2、（十二届初二“希望杯”化简 二L的结果是2d30 - 62 + 4J3解：设a =Q,b =5,c =u3,则原式=a + b - c2(abc - ac2 + a2c)a + b - c _ 12ac(b - c + a) 2ac12六、巧构方程方程法:对于一些带号的无限循环式的化简，通常可设原式值为X,设法建立一个关于x的 方程求解.例6、化简3I /;解析：本题整体设元可使问题化难为易迅捷获解，设x = 3：3十3厂两边平方，得 x2 = 3x即 x( x - 3) = 0解得xi = 3
10、,x2 = 0 (不合舍去)所以 晶33J=3练习：化简求值丫6 + 6 +卞6 +解:设原式=x,则x=*6 + x,两边平方得x2 -x -6 = 0,即(x-3)(x+2)=0,取正数 x=3.例9化简巨+2占+22 +J 2丁2 + 解:设原式=x, x += m,1贝 Um = 22 +,m所以m 2 - 22m 1 = 0. 用求根公式得 m = 2 土応=込土、 2取正值m =込+ -J3,原式=、3七、巧取倒数如果一个“分式型”二次根式只有分子可进行因式分解,常常可先取倒再来解决.例 7、化简、：15 、P5 -运 + 3解析：此题先取倒数求出倒数的值，从而求得原式的值，可使问题化繁为简，迎刃而解。设原式=a1心 5 + 2訂-1（5 + 3）+（3 -1）11= = =+a 15 -、怎-/3 + 3G/5 + 訂）（叮3 -1）运-1 、污 +叮33 +1 5 -桓 v5 +1+ 二2 2 2原式a2、汚+15 12练习：化简駅+后+込+ 2V3 + 2x2 +1八、平方法对于被开方数为和差型的复合二次之和（差）,常以退为进，先求出它的平方。例7化简士竺斗g10 +1
