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1、第三节直接证明和间接证明A组基础题组1. （2018衡阳示范高中联考（二）用反证法证明某命题时,对结论：“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”的正确假设为（）A. 自然数a,b,c中至少有两个偶数B. 自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C. 自然数a,b,c都是奇数D. 自然数a,b,c都是偶数答案 B “自然数a,b,c中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数，其否定是“自然 数a,b,c均为奇数或自然数a,b,c中至少有两个偶数”.2. 分析法又称执果索因法,已知x0,用分析法证明2 B.x 422C.x 0 D.x 1答案 C因为x0,所以要证1+-,只需证（）2-,即证00,因为
2、x0,所以x20成立,故原不等式成立.3. 在厶 ABC中 ,sin As in Ccos AcosC,则厶 ABC 定是（）C.钝角三角形 D.不确定答案 C 由 sin As in C0,即 cos(A+C)0,所以 A+C是锐角, 从而B_,故厶ABC必是钝角三角形4. 利用数学归纳法证明不等式1+4+2,n N)的过程中,由n=k到n=k+1时,左边增加了()A.1 项 B.k 项 C.2k-1 项 D.2k 项答案 D令不等式的左边为g(n),则g(k+1)-g(k)=1+ _+-+ + - +,增加的项数为2k+1-1-2 k+仁*-2冬21故左边增加了 2k项.5. 设ab0,m
3、= 一- _,n= -,则m,n的大小关系是.答案 mn解析(分析法)-_ _? a0,显然成立.6. 若二次函数f(x)=4x 2-2(p-2)x-2p 2-p+1在区间-1,1内至少存在一点c,使f(c)0,则实数p的取值范围是.答案范围是 -.7. 已知函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-x2+-x3,函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线.(1)求a,b的值；证明:f(x) -1),贝U h(x)= 一-x2+x-1 = 一.易知h(x)在(-1,0)上为增函数，在0 + s上为减函数.h(x) ma=h(0)=0,所以 h(x) 0,
4、即 f(x) 2)时,2ak+bk=1 成立，则 2ak+1+bk+1=2a bk+1+bk+1=(2ak+1)=1,所以当n=k+1时，命题也成立.由知，对n N,都有2an+bn=1,即点Pn都在直线I上.B组提升题组1. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x 0时，f(x)单调递减，若X1+X20,则f(x 1)+ f(x 2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负答案 A由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x 0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数 由 Xl+X20,可知 Xl-X2, f(x 1) f(-x 2)=-f(X 2),则 f(X
5、i)+f(X 2)0,公差d0.(1)若a1=1,d=2,且一，一,一成等比数列，求正整数m的值；求证：对任意正整数n, ,一,都不成等差数列.解析(1)由题意，得一=,() =(a 1an),因为a1=1,d=2,所以=a1a即49=1+(m-1) 2,解得 m=25. 证明:假设一,成等差数列，则一 +=,即=-,所以(a n+l+3n+2)=(a n+an+1),(2an+3d)=(a n+2d)2(2an+d),即 2d(3+6and+2d2)=0,因为 ai0,d0,所以 an=ai+(n-1)d0,故2d(3+6and+2d2)0与式矛盾,所以假设不成立即对任意正整数n,都不成等差
6、数列.*4. 设集合M=1,2,3,n(n 3,n N),记M的含有三个元素的子集的个数为 S,同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为Tn.(1) 求一,一,一,一的值；(2) 猜想一的表达式，并证明.解析 (1) 一=2, =, =3,(2)猜想一=(n 3,n N).下面用数学归纳法证明. 当n=3时，由知猜想成立； 假设当n=k(k 3,k N)时，猜想成立，即一=,而S=,所以Tk=一.则当n=k+1时，易知S+i=,而当集合M从1,2,3,k变为1,2,3,k,k+1时,Tk+i在Tk的基础上增加了 1个2,2个3,3 个 4,(k-1)个 k,所以 Tk+i=Tk+2X 1+3X 2+4X 3+k(k-1)=+2(+ +)=+2(+ +)=+2=Sk+i,故=.所以当n=k+1时，猜想也成立.综上所述,猜想成立,即一=一(n 3,n N*).
