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1、第2章 控制系统的状态方程求解要点： 线性定常状态方程的解 状态转移矩阵的求法 离散系统状态方程的解难点： 状态转移矩阵的求法 非齐次状态方程的解一 线性定常系统状态方程的解1 齐次状态方程的解考虑n阶线性定常齐次方程 （2-1） 的解。先复习标量微分方程的解。设标量微分方程为 （2-2） 对式（2-2）取拉氏变换得移项 则 取拉氏反变换，得 标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理：定理2-1 n阶线性定常齐次状态方程（2-1）的解为 （2-3）式中，推论2-1 n阶线性定常齐次状态方程 （2-4） 的解为 （2
2、-5）齐次状态方程解的物理意义是将系统从初始时刻的初始状态转移到时刻的状态。故又称为定常系统的状态转移矩阵。(状态转移矩阵有四种求法：即定义（矩阵指数定义）法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿（Cayly-Hamilton）法)从上面得到两个等式 其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为的频域求法或拉氏反变换法2 非齐次状态方程的解设n阶非齐次方程 (2-6)将状态方程左乘，有 移项 积分，再移项左乘，得 定理2-2 n阶线性定常非齐次方程（2-6）的解为 从非齐次状态方程解的表达式可以看出其解是由齐次方程的解与控制u（t）的作用两部分结合而成。二 矩阵指数的性质1.2.3.4.5. 若
3、矩阵A，B满足交换律，即AB=BA，则有 6.7. 设P是与A同阶的非奇异矩阵，则有 8.9. 传递性。对任意，且，有三 的计算方法1. 定义法 （2-6）2. 拉氏变换法 （2-7）3. 特征值法这种方法分两种情况计算。首先，考虑A的特征值不重时（互异），设A的特征值为 则可经过非奇异变换把A化成对角标准形。即：根据的性质7写出 （2-8）根据定义，得 从而可得： （2-9）（2-9）式即为A的特征值不重时，计算的公式。其中P阵为把A化为对角标准形的交换阵。P阵的特征向量的求法：（ ，） （2-9） 若矩阵A的具有重根时，用上述的方法也可以推导出：重根所对应的约当块AJ的矩阵指数的分式为 （
4、2-10）求矩阵指数的分式为： （2-11） 式中P是把Aj化为约当标准形的变换阵。当A既有j重根又有互异的根时： （2-12）P阵的特征向量的求法： (2-13) (2-14)(注：在（2-13）式中将重根对应的特征向量可放在P阵的前部，也可以放后，无严格规定。)4. 莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）方法考虑A的特征多项式 显然对A的n个特征值，有。 根据Cayley-Hamilton定理有 这里可以看出矩阵A与具有同等地位。 移项 上式表明，的线性组合。因此，可设 （2-15）式中，是待定系数，。 下面分两种情况确定待定系数：（1）A有n个不同特征值,A的特征值与A具有同等地
5、位，则有 （2-16） 这里共有n个方程，可以唯一确定n个待定系数。（2） 当A的特征值有重时，设A有p个互异特征值，r个不同的重特征值，且各重数为，。若是重特征值，则将满足的方程对求次导，这样共有个独立方程。一般地，设A的特征值为为单特征值 是重特征值 为重特征值。 有 则 由下面n个独立方程确定： （2-17）例4阶系统（n=4），有一个根重了3次，即j=3，用莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）方法求状态转移矩阵，即用（2-17）式推得： （2-18）然后按（2-15）式计算四 线性离散系统的状态空间表达式及连续系统离散化1 离散系统的状态空间模型 在古典控制理论中，离散系统用
6、差分方程描述，差分方程和描述连续系统的微分方程有着对应的关系。事实上，对微分方程以差商来近似微分时，微分方程就可由差分方程来近似。与连续系统相似，对阶离散系统的差分方程 （2-19）若选择适当的状态变量就可将其转换成一足一阶差分方程或一阶向量差分方程，从而得到与其对应的状态空间模型。即 （2-20）此外对连续系统的状态空间模型离散化也可得到离散的状态空间表达式。例 已知某离散系统的差分方程为 试求其状态空间表达式。解：选状态变量，则可直接写出状态空间表达式。 写成矩阵形式显然这是能控标准形，若改变选择状态变量的方法，也可以将该离散系统的差分方程转换成另一种形式的状态空间表达式。2线性定常系统状
7、态方程的离散化线性定常连续系统的状态方成为 （2-21）由第二章可知，其基本解式为 （2-22）取，式（1-53）变成 （2-23）（2-23）式的在和之间，且有常数。这是由于在离散化式采样器后面常放置零阶保持器，故输入可以放到积分符号之外，从而有 （2-24）式中，令，则，而积分下限，则。当积分上限时，则，故式（2-24）可化简为 （2-25）将式（2-25）与式（2-20）比较 （2-26） （2-27）例 已知某连续系统的状态空间表达式为 试求其离散状态空间表达式。解：根据式(2-26)可求出离散状态方程的系数阵 其离散状态方程的输入阵根据式（2-27）写成 从而可得该系统的状态空间表达式 3离散系统的传递函数阵与连续系统相对应，离散系统也可以与传递函数阵作为数学模型来描述，为此对状态空间模型式（2-20）的两边取Z变换，有 从而可推出 （2-28） （2-29）若初值，则有 （2-30）定义传递函数阵为 （2-31）五 线性定常离散系统状态方程的解对n阶线性定常离散系统 （2-32）其求解方法有两种：1 递推法 2 Z变换法 Z是频域解法。对式（2-32）作Z变换，有 移项 左乘 取 定理2-3 n阶线性定常离散系统式（2-32）的解为
