《时间序列分析方法 第3章 kalman滤波》由会员分享，可在线阅读，更多相关《时间序列分析方法 第3章 kalman滤波（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十三章 卡尔曼滤波在本章中，我们介绍一种被称为卡尔曼滤波的十分有用的工具。卡尔曼滤波的基本思想 是将动态系统表示成为一种称为状态空间表示的特殊情形。卡尔曼滤波是对系统线性投影进 行序列更新的算法。除了一般的优点以外，这种算法对计算确切的有限样本预测、计算 Gauss ARMA 模型的确切似然函数、估计具有时变参数的自回归模型等，都提供了重要方法。13.1 动态系统的状态空间表示我们已经介绍过一些随机过程的动态表示方法，下面我们在以前的假设基础上，继续分 析动态系统的表示方法。13.1.1 继续使用的假设假设y表示时刻t观测到的n维随机向量，一类非常丰富的描述y动态性的模型可以 利用一些可能无
2、法观测的被称为状态向量(state vector)的r维向量乞表示，因此表示y动态 性的状态空间表示(state-space representation)由下列方程系统给出：g= F g + v状态方程(state model)(13.1)t + 1tt + 1y = A x + H g + w量测方程(observation model)(13.2)tttt这里F， A和H分别是阶数为r x r， n x k和n x r的参数矩阵，x是k x 1的外生或 t者前定变量。方程(13.1)被称为状态方程(state model)，方程(13.2)被称为量测方程(observation mode
3、l)， rx 1维向量v和nx 1维向量w都是向量白噪声，满足：tt(13.3)E(v J；)=Q, t =；0, t 北；(13.4)E(w w)= p时， = 0 ;当j q时，0 jj考虑下列状态空间模型表示为：状态方程(r三max p, q +1):2 1 一12r1r1000t+10 +1 =0100+t+1t:000101(13.16)量测方程(n = 1 )：y =卩 + 1 000 (13.15)t12r 1 t为了验证方程(13.16)和方程(13.17)表示了系统与方程(13.15)致，假设g表示向量 j tt的第j个兀素，因此状态方程的第2行表示:第 3 行表明：更一般地
4、，第 j 行表示： 因此状态方程的第1行意味着或者：(1 1L 2 L L)g 1 = 112r1,t+1t+1(13.18)量测方程表明：y =卩 + (1 + 0 L +0 L2 + +0Lr-1) t12r 11, t(13.19)在方程(13.19)两端乘以算子多项式(1 L L Lr)，并利用方程(13.18),可12r以得到：这就是原来的ARMA(p, q)模型，即方程(13.15)。状态空间形式是描述随机过程的和，或者测量误差结果的模型的非常合适的方式。例如，Fama和Gibbons (1982)开始着手研究事前实际利率(ex ante real interest rate )行
5、为(事前实际 利率是名义利率it减去预期通货膨胀率兀e)。由于经济计量学家通过证券市场推断的预期通 货膨胀率的数据，因此这个变量不是可以观测的。因此在这种应用中状态变量是一个标量， 即：g = i -兀e卩，这里卩表示平均事前实际利率o Fama和Gibbons (1982)假设事前实际 t t t利率服从 AR(1) 过程：J + v 1(13.20)t+1tt+1经济计量学家可以观测到事后实际利率(名义利率i减去真实通货膨胀率兀),这可以表 tt示为：i -K = (i -k e) + (兀 e -K ) = p +g + w(13.21)t t t tt tt t t这里w三(K e-K
6、 )是人们预测通货膨胀率时的误差。如果人们以最优的方式形成通货 tt t膨胀率预测，则w与自身的滞后值和事前实际利率是无关的。因此方程(13.20)和方程(13.21) t是状态空间模型，这里 r = n = 1， F = Q ， y = i k ， Ax ， H = 1， w = k e k。t tttttt状态空间模型框架的另外一个有趣例子是Stock和Waston (1991)的研究，他们假设存在表示经济周期状态的不可观测变量C。假设(y , y，,y )是n个可以观测的宏观经济变 t1 t2 tnt量，每个都受到经济周期的影响，并且具有与y , j北i中移动不相关的奇异成分(表示为 j
7、tX )。如果经济周期和每个奇异成分可以利用一元AR过程描述，则(n +1) x 1维状态向 it量是：gCtX1tX2t(13.22)XCt+4C00X1t+10C0X 2t+1=000CXnt+1 -000nt该状态变量具有的状态方程为：量测方程为：(13.23)0_-C t0X11t0r:2t1Xnt(13.24)t因此，参数Y描述第i个序列对经济周期反应的敏感性。为了出现和描述p阶动态性，iStock 和 Waston (1991)将方程(13.22)中的 C 和 X.替换为(p x 1)阶向量(C , C，,C )ti tt t -1t - p +1和(X , X ，,X )，这时g是(n +1)p X1维向量。这时方程(13.23)中的标量Q需要i ti t -1i t - p +1ti利用(p x p)阶矩F阵替换，该矩阵结构与方程(13.13)类似。还需要在量测方程(13.24)中Hi的列中加入阶数为(n x (p -1)的零子块。13.2 卡尔曼滤波的推导 卡尔曼滤波是估计状态空间模型的重要方法，也是应用
