《5.1 定积分的概念与性质-习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《5.1 定积分的概念与性质-习题（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、n n n n b - . 1利用定积分的定义计算以下积分：bxdx a b；a【解】第一步：分割在区间a, b 中插入n -1个等分点： x =kb -ank ，k =1,2, , n -1，将区间a, b 分为n个等长的小区间a +b -a b -a ( k -1), a + k n n，k =1,2, , n，每个小区间的长度均为 D =kb -an，取每个小区间的右端点 x =a +kb -ank，k =1,2, , n，第二步：求和对于函数f ( x ) =x，构造和式S =nk =1f ( x ) D=x D=(a + k k k kk =1 k =1b -a b -ak ) n
2、nb -a n b -a b -a n b -a = ( a + k ) = ( na + k )n n n nk =1 k =1b -a b -a n = ( na +n nk =1b -a b -a n ( n -1) k ) = na + n n 2=(b -a ) a +b -a 1 b -a b -a 1 (1- ) =(b -a )( a + - )2 n 2 2 n=(b -a )(第三步：取极限b +a b -a 1 - )2 2 n令n 求极限b +a b -a 1- )lim S =lim f ( x ) D=lim( b -a )(n k k2 2 nn n n k =1
3、b +a b -a b +a b2 -a =(b -a )( - 0) =(b -a ) =2 2 2 22，即得axdx =b2 -a 2 2。1e x dx 。0- -可修编.k n n k n 1 1 k n k k1 k =1n 1 n n - . 【解】第一步：分割在区间 0,1 中插入 n -1 个等分点： x =kkn，k =1,2, , n -1，将区间0,1分为 n 个等长的小区间 k -1 k, ，n nk =1,2, , n -1，每个小区间的长度均为 D =k1n，k取每个小区间的右端点 x = ， k =1,2, , nn第二步：求和，对于函数 f ( x ) =ex
4、，构造和式S =nk =1f ( x ) D=exk k kk =1D=kn k 1 1 ne n = e n n nk =1 k =1 k 由于数列 en 为等比数列，其首项为 x =e11n，公比为q =e1n，可知其前n项n k和为 e nk =1=1 1e n 1-( e n ) n 11 -e n=1e n (1-e)11 -e n，于是S =n第三步：取极限k =11e n1 n 1 e n (1-e)f ( x ) D= e n = = (1-e)n n 11 -e n 1 -e n令 n 求极限lim S =limnn n k =11e nf ( x ) D=lim (1-e)
5、 k k 11 -e n1n=x=(1-e)limx 0xe x1 -ex洛必达法则(1-e) limx 0e x +xe x -ex=(1 -e) limx 01 +x-1=(1 -e)( -1) =e -1，即得1e x dx =e -1 。02利用定积分的几何意义，证明以下等式：12 xdx =1 ；0【证明】定积分 12 xdx 的几何意义是由直线y =2 x ， x =1 及 x 轴围成的三角形的面积，0- -可修编.p p p p p , p - .如图可见即知， 102xdx =SDOAB=AB OB 2 1 = =12 2。证毕。 101 -x 2 dx =p4；【证明】定积分
6、11 -x 2 dx 的几何意义是由圆弧 y = 1 -x2与x轴及y轴所围成的四分之0一圆形的面积，如图可见101 -x2dx =S半圆1 1 p= p(OA) 2 = p12 = 。证毕。 4 4 4psin xdx=0；-p【证明】定积分psin xdx的几何意义是由正弦曲线y =sin x 在 -p,p上的一段与 x 轴所-p围成的图形的面积，如图可见图形由两块全等图形组成，-psin xdx =S +S ，1 2其中 S 位于 x 轴下方， S 位于 x 轴上方，显见 1 2S =-S12，从而-psin xdx =-S2+S =0 ，证毕。 22p-2cos xdx =220cos
7、 xdx 。【证明】定积分2p-2cos xdx 的几何意义是由余弦曲线y =cos x 在 -p p2 2上的一段与x轴所围成的图形的面积，如左图所示，为2p-2cos xdx =S1+S2,- -可修编. p p p n i 1 +- .而定积分p20cos xdx 的几何意义是由余弦曲线y =cos x在0, 2上的一段与x轴所围成的图形的面积，如右图所示，为p20cos xdx =S2,由于曲线y =cos x关于y轴对称，可知 S =S ，亦即 S +S =2 S1 2 1 22，即知2p-2cos xdx =220cos xdx 。证毕。3 ln 2 =1011 +xdx ，试用矩
8、形法公式5.3，求出 ln 2 的近似值取 n =10 ，计算时取 4位小数。【 解 】 矩 形 法 公 式 5.3 为 bab -af ( x) dx ( y +y +0 1+y ) ， 其 中 y = f ( x n -1 i i)i =0,1, n -1，而 xii =1, , n -1为区间a , b的n -1个等分点。于是，在区间 0,1 插入 n -1 个等分点 x =iin，i =1, , n -1，1对于 f ( x) = ，求出 f ( x ) = 1 +x1 1 n= = 1 +x i n +iin，i =0,1, , n -1，于是，当 n =10 时，ln 2 =101
9、 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 dx ( + + + + + + + + + )1 +x 10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 191 1 1 1 1 1 1 1 1 1= + + + + + + + + +10 11 12 13 14 15 16 17 18 190.1 +0.09091 +0.08333 +0.07692 +0.07143 +0.06667+0.06250 +0.05882 +0.05556 +0.05263=0.71877 0.7188。4证明定积分性质：bkf ( x)dx =kbf ( x)dx ；aa【证明】在区间a, b 中插入 n -1 个等分点： xk，k =1,2, , n -1，每个小区间的长度- -可修编.b n b n n n 1 dx =n k k k n 1 1 dx = dx =- .均为 Dk，F ( x ) =kf ( x) 对于函数kf
