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1、初中九年级数学比赛培优讲义全套专题19与圆相关的角专题19与圆相关的角阅读与思虑与圆相关的角主要有圆心角、圆周角、弦切角.特其他，直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形供应相等的角、互补的角，在理解与圆相关的角的看法时，要注意角的极点与圆的地址关系、角的两边与圆的地址关系.角在解题中常常发挥重要的作用，是证明角均分线、两线平行、两线垂直，判断全等三角形、相似三角形的主要条件，而圆的特色又使角的相互转变具备了灵便多变的优胜条件，是解题中最活跃的元素.熟习以下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，在ABC中，ABAC5，BC2，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E，则CDE的面积为_
2、.（海南省比赛题）AAODODBCBECM例1题图例2题图解题思路：作DFBC于F，需求出CE，DF的长.由AB为O的直径作出相关辅助线.?【例2】如图，ABC内接于O，M是BC的中点，AM交BC于点D，若AD3，DM1，则MB的长是（）A4B2C3D3解题思路：图中隐含好多相等的角，利用比率线段计算.【例3】如图1，O中AB是直径，C是O上一点，ABC45，等腰直角三角形DCE中， DCE是直角，点D在线段AC上.(1)证明：B，C，E三点共线；(2) 若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN2OM；(3) 将DCE绕点C逆时针旋转(090)后，记为D1CE1(如图2).若M1是
3、线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N12OM1可否成立？若是，请证明；若不是，说明原因.解题思路：对于(2)，充分利用条件中的多此中点，看望线段之间的数目关系与地址关系.AANN1ODEOE1D1CMM1CBB图1图2【例4】以以下图，ABCD为O的内接四边形，E是BD上的一点， BAEDAC.求证：(1)ABEACD；(2)ABDCADBCACBD.（陕西省比赛试题）解题思路：由(1)可类比猜想，为(2)特别规问题的证明摊平道路.DACOEB【例5】如图1，已知M与x轴交于点A，D，与y轴正半轴交于点B，C是M上一点，且A（2,0），B（0，4），ABBC.(1) 求圆心M的坐标
4、；(2) 求四边形ABCD的面积；(3) 如图2，过C点作弦CF交BD于点E，当BCBE时，求CF的长.解题思路：作出基本辅助线（如连接BM或AC），这是解(1)、(2)的基础；对于(3)，由BCBE，得BECBCE，连接AC，将与圆没关的BEC转变为与圆相关角，导出CF均分ACD，这是解题的重点.yCyCBBEAOMDxAOMDxF【例6】如图，AB，AC，AD是O中的三条弦，点E在AD上，且ABACAE.求证：(1)CAD2DBE；(2)AD2AB2BDDC.（浙江省比赛试题）解题思路：对于（2），AD2AB2(ADAB)(ADAB)(ADAE)(ADAE)(ADAE)DE，需证(ADAE
5、)DEBDDC，从构造相似三角形下手.AOCBED能力训练A 级1.如图，AB是O的直径，点C在O上，BAC30，点P在线段OB上运动.设ACPx，则x的取值范围是_.2.如图，AB是O的直径，弦CDAB，F是CG的中点，延长AF交O于E，CF2，AF3，则EF的长为_.CCECxFABBOOAOPGPDABD第1题图第2题图第3题图3.如图，AB，CD是O的两条弦，它们订交于点P.连接AD，BD，已知ADBD4，PC6，那么CD的长为_.14.如图，圆内接四边形ABCD中的两条对角线订交于点P，已知ABBC，CD2BD1.设ADx，用x的代数式表示PA与PC的积：PAPC_.（宁波市中考试题
6、）5.如图，ADBC是O的内接四边形，AB为直径，BC8，AC6，CD均分ACB，则AD()A50B32C52D42DACCBOOAOBGDCABDE第4题图第5题图第6题图AD26.如图，在ABC中，AD是高，ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有以下四个结论：BDCD；BE2EGAE；AEADABAC；AGEGBGCG.此中正确结论的个数是()A1个B2个C3个D4个（哈尔滨市中考试题）?PA7.如图，正ABC内接于O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有以下结论：111)（天津市中考试题）PBPC；PB；PAPEPBPC.此中正确结论的个数是(APPCA3个B2个C1个D0个
7、8. 如图，四边形ABCD内接于O，延长AD，BC交于点M，延长AB，DC交于点N，M20，N40，则A的大小为（）A35B60C65D70ANBCOCOADEECDOBABPM第7题图第8题图第9题图9.如图，已知O的内接四边形ABCD中，ADCD，AC交BD于点E.求证：(1)ADDE；BDAD(2)ADCDAEECDE2；（扬州市中考试题）10. 如图，已知四边形ABCD外接圆O的半径为5，对角线AC与BD交于点E，且AB2AE?AC，BD8，求ABD的面积.（黑龙江省中考试题）OCEBAD11. 如图，已知O的内接ABC中，ABAC12，ADBC于D，AD3.设O的半径为y，AB的长为
8、x.(1) 求y与x之间的函数关系式；(2)当AB的长等于多少时，O的面积最大？并求出O的最大面积.（南京市中考试题）ABODC12.如图，已知半圆O的直径AB4，将一个三角板的直角极点固定在圆心O上.当三角板绕着点转动时，三角板的两条直角边与半圆周分别交于C，D两点，连接AD，BC交于点E.O(1)求证：ACEBDE；(2)求证：BDDE；(3)设BDx，求AEC的面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（广东省中考试题）CAEBDB级1.如图，ABC内接于直径为d的圆，设BCa，ACb，那么ABC的高CD_.2.如图，在平面直角坐标系中，OCB的外接圆与y轴订交于点A（0，2），
9、OCB60，COB45，则OC_.ACyCADOxBOB第1题图第2题图CABDO第3题图3.如图，AB为O的直径，CDAB，设COD，则ABgsin2_.（江苏省比赛试题）AD24.如图，已知圆内接四边形ABCD中，ADAB，DAB90，对角线AC均分DAB.若ADa，ABb，则AC_.（“东亚杯”比赛试题）5.如图，ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，AB5，PC4，分别延长AB和DC，它们订交于点P，若APD60，则O的面积为（）A25B16C15D136.如图，ABACAD，若DAC是CAB的k倍（k为正数），那么DBC是BDC的（）Ak倍B2k倍C3k倍D以上答案都不对CPBADCOAODBABDC第4题图第5题图第6题图7. 如图，AD是RtABC斜边BC上的高，ABAC，过A，D两点的圆与AB，AC分别订交于E，F，弦EF与AD订交于点G，则图中与G
