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1、福州大学2009年硕士研究生入学考试高等代数试题1解线性方程组 其中为互不相等的数2证明: 任一阶方阵可以表成一个数量矩阵(具有形式的矩阵)与一个迹为0的矩阵之和. 3设为实矩阵,为阶单位阵, 证明: 当时,为正定矩阵.4. 设为阶不可逆方阵,证明:的伴随矩阵的特征值至少有个为0,另一个非零特征值(如果存在)等于.5. 证明: 相似的矩阵有相同的最小多项式.6. 设为矩阵,为维列向量,证明有解的充分必要条件是对满足的维列向量也一定满足.7. 证明: 任一阶实可逆矩阵可以分解成一个正交阵与一个正定阵之积, 即.8. 设, 且. 令, 分别为线性方程组,的解空间.证明.9. 设是一些阶方阵组成的集
2、合, 其中元素满足, 都有,且, 证明:(1) 交换律在中成立.(2) 当时,中矩阵的行列式的值只可能为,.10. 证明: 不存在阶正交阵, 使得. 福州大学2009年硕士研究生入学考试高等代数试题解答1. 所给线性方程组的系数行列式为范德蒙行列式因为互不相等,故.由克莱姆法则知,方程组有唯一解.取 那么方程组的唯一解为, , . 2. 设是任一个阶方阵,.假设可以写成的形式,其中为数域中的一个数,是一个迹为0的矩阵.那么于是即从得取那么是一个迹为0的矩阵,且. 3. 对于任一个非零实维列向量,有.令,那么.由于,故由正定矩阵的定义知,是正定矩阵. 4. 设是数域上的阶不可逆方阵, 则rank
3、, .若rank,则的所有阶子式都为0,从而的元素.这时. 显然,的个特征值都是0,结论成立.若rank,则至少有一个阶子式不为0,故, rank. (1)由知,的每个列向量都是齐次线性方程组的解向量.设,.由线性空间的理论和线性方程组的理论知rankdimdimrank. (2)由(1),(2)知rank.因为rank,故存在可逆矩阵,使得其中,且不全为零.这时其中,而不全为零.注意的特征多项式为.因此,当时,的个特征值都为0；当时,的特征值为0(重),(一重).注意,对于一般的阶矩阵来说,若的特征值为,则.因此,对于本题来说,当有个特征值为0,而另一个特征值时,有. 5设都是数域上的矩阵,
4、且与相似.那么存在上可逆矩阵使得.设的最小多项式为,的最小多项式为,则,.由多项式带余除法知,存在使得, (1)其中,或.将代入上式,得,即.于是,但,故,即有 .于是有.由于是满足的次数最低的多项式,故.由(1)知,即.同理可证.注意都是最高次项系数为1的非零多项式,故. 6. 必要性.设有解,即存在使得.记.设 为的任一解,即,则.于是,即.因此,即,这说明是的解. 7. 因为是阶实可逆矩阵,则是正定矩阵.于是存在正交矩阵使得.于是. (1)令,从(1)式知,是正交矩阵.令那么是正交矩阵,是正定矩阵,且,即. 8. 因为,由多项式互素的充要条件知,存在使得.将代入上式,得,即.任取,则,.
5、取,.由于都是的多项式,故,进而有于是即,.因此,从而有.注意到,容易看出,从而.因此. (1)任取,则,.于是,故. (2)由(1),(2)式可得. 9. (1) 任取,由所给条件知,.令,则.于是即交换律在中成立.(2) 任取, 若, 则.对上式两边取行列式, 得, 即. 于是或,即或. 10. 反证法.假设存在正交矩阵,使,则.由于正交矩阵满足,故注意是正交矩阵,且,故是正交矩阵.于是 即. (1)从得.由于也是正交矩阵,故是正交矩阵,且即. (2)将(1),(2)左右两端分别相加,得, 这显然是不可能的. 华东师大2005年硕士研究生入学考试高等代数试题一 填空、选择、是非题（共15小
6、题，满分60分，每小题4分）1 设3阶方阵的特征值为2，3，5，则 2 如果是的2重根，则一定是多项式的5重根.3 设向量组，线性相关，且其中任意个向量线性无关，则存在全不为0的数，使得.4 设与分别是数域上8元齐次线性方程组与的解空间，如果，那么 5 实反对称矩阵的非零特征值必为：A. 正实数 B.负实数 C.1或-1 D.纯虚数6 若三次实系数多项式恰有一个实根，为的判别式，则 A. B. C. D. 7. 3阶整系数的行列式等于-1的正交矩阵共有 个 8设是行列式等于-1的正交变换，则 一定是的特征值。 9排列与排列具有相同的奇偶性的充要条件是 10设是数域上非齐次线性方程组的特解，是该
7、方程组的导出组的基础解系，则以下命题中错误的是： A.是的一组线性无关解向量； B.的每个解均可表为的线性组合； C.是的解； D.的每个解均可表为的线性组合.11以下各向量组中线性无关的向量组为： A. B. C.(2,3,1,4),(3,1,2,4),(0,0,0,0);D.(1,2,-3,1),(3,6,-9,3),(3,0,7,7) 12.由标准欧几里得空间中的向量组，张成的子空间W的一组规范正交基为 13设V是n维欧几里得空间，W是V的子空间，则 = W（A） （B） （C） = （D）14的逆矩阵15设,如果，则二、计算题16（12分）求实二次型的正惯性指数、负惯性指数、符号差以及
8、秩。 17（18分）讨论满足什么条件时下列方程有解，并求解18（12分）试在有理数域、实数域以及复数域上将分解为不可约因式的乘积（结果用根式表示），并简述理由。19（18分）已知是六阶方阵A的极小多项式，且Tr(A)=6,试求（1）A的特征多项式及其若尔当典范型；（2）A的伴随矩阵的若尔当典范型。三、证明题20（10分）设是实对称矩阵A的特征多项式，证明：A是负定矩阵的充要条件是。21（10分）证明：如果n阶行列式中所有元素都为1或-1，则当时，22（10分）证明：每个秩为r的n阶（rn）实对称矩阵均可表为n-r个秩为n-1的实对称矩阵的乘积。高等代数试题解答* 解答人: 陈现平 聊城大学一.
9、 1. 135.2. 错误.例如取,则0为的2重根,但不是的根.3. 正确.证 由，线性相关知,存在不全为0的数，,使得.不妨设,则都不为0.否则若,则.这与，中任意个向量线性无关矛盾. 4. 3.5. D.6. C.7. 3.8. .9. 0.10. C.11. A.12. ,.13. C.14. .15. 正确.证 若,则必有.事实上,设为维线性空间的线性变换,则. 又从而.二.计算题16. 解 注意到令则.此二次型的矩阵为的特征值为从而原二次型正惯性指数、负惯性指数、符号差以及秩分别,0, ,.17. 解 方程组的增广矩阵为(1)当为偶数时,将的第行乘以加到最后一行,得故当时,方程组有无
10、穷多解,一般解为(2)当为奇数时,有此时无论取何值,方程组都有唯一解为18. 解 由于,令则,故在复数域上的分解式为在实数域上的分解式为在有理数域上的分解式为.19. 解 (1) 由是六阶方阵的极小多项式知,有特征值1,(2重), (2重).而Tr(A)=6,故还有特征值1.于是的所有特征值为1,(2重), (2重),1.故的特征多项式为 的若尔当典范型为 (2)由于,的特征值为1(2重), (2重), (2重).从而的若尔当典范型为 三.证明题20. 证 设矩阵的特征值为,则由根与系数的关系可得是负定矩阵的充要条件是均小于0.由上式可知均小于0的充要条件为均大于0. 21. 证 对用数学归纳法. 当时, 其中为0或2.故.又,而,其中为元素的代数余子式.故,然而,于是.假设结论对阶行列式成立,下证结论对阶行列式正确.实际上而由归纳假设,故由数学归纳法,结论成立. 22. 证 设是秩为的阶实对称矩阵,则存在正交矩阵,使得用表示对角线第个位置为1,其余为0的阶方阵,则为个秩为的矩阵,而的秩为,且若令,可得结论成立.
