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1、任意四边形、梯形与相似模型例题精讲板块一 任意四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ 【考点】任意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 在，中有，所以， 的面积比为同理有，的面积比为所以有=，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条
2、对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积 即=，所以有与的面积比为，=公顷，=公顷 显然，最大的三角形的面积为21公顷【答案】21【例 2】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，AOB面积为1平方千米，BOC面积为2平方千米，COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是692平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【考点】任意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答【关键词】小数报【解析】 根据蝴蝶定理求得平方千米，公园四边形的面积是平方千米，所以人工湖的面积是平方千米【答案】0.58【例 3】 一个矩形
3、分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15，黄色三角形的面积是21平方厘米问：矩形的面积是多少平方厘米？【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第7题【解析】 黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50，而绿色三角形面积占矩形面积的15，所以黄色三角形面积占矩形面积的501535已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以矩形面积等于213560(平方厘米)【答案】60【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形的面积；？【考点】任意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 根据蝴蝶定理，那么；根
4、据蝴蝶定理，【答案】【例 4】 四边形的对角线与交于点(如图所示)如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，那么的长度是的长度的_倍 【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】填空【解析】 在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比再应用结论：三角形高相同，
5、则面积之比等于底边之比，得出结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题解法一：，解法二：作于，于，【答案】2倍【例 5】 如图，平行四边形的对角线交于点，、的面积依次是2、4、4和6求：求的面积；求的面积【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，根据蝴蝶定理，所以，那么【答案】【例 6】 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空【关键词】清华附中，入学测试题【解
6、析】 连接、则可根据格点面积公式，可以得到的面积为：，的面积为：，的面积为：所以，所以【答案】【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形的面积【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 因为，且，所以，【答案】【例 7】 如图，边长为1的正方形中，求三角形的面积 【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答【关键词】人大附中考题【解析】 连接因为，所以因为，根据蝴蝶定理，所以所以，即三角形的面积是【答案】【例 8】 如图，长方形中，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积 【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 连接，因为，所以因为，所以平方厘米，所
7、以平方厘米因为，所以长方形的面积是平方厘米【答案】72【例 9】 如图，已知正方形的边长为10厘米，为中点，为中点，为中点，求三角形的面积 【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 设与的交点为，连接、由蝴蝶定理可知，而，所以，故 由于为中点，所以，故，由蝴蝶定理可知，所以，那么（平方厘米）【答案】6.25【例 10】 如图，在中，已知、分别在边、上，与相交于,若、和的面积分别是3、2、1，则的面积是 【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解根据蝴蝶定理得 设，根据共边定理我们可以得，解得【答案】22.
8、5【例 11】 正六边形的面积是2009平方厘米，分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米 【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空【关键词】迎春杯，6年级。初赛【解析】 如图，设与的交点为，则图中空白部分由个与一样大小的三角形组成，只要求出了的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积连接、设的面积为”“，则面积为”“，面积为”“，那么面积为的倍，为”“，梯形的面积为，的面积为”“，的面积为根据蝴蝶定理，故，所以，即的面积为梯形面积的，故为六边形面积的，那么空白部分的面积为正六边形面积的，所以阴影部分面积为(平方厘米)【答案】1148【例 12】 如图
9、，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点如果ASM、MTB与DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为 【考点】任意四边形模型 【难度】5星 【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级组，决赛，12题【解析】 连接、由于是的中点，所以与的面积相等，而比的面积大1，所以比的面积大1；又由于是的中点，所以的面积与的面积相等，那么的面积比的面积大1，所以的面积为9假设的面积为，则的面积为根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知的面积为，的面积为要使这两个三角形的面积为整数，可以为1，3或7由于的面积为面积的一半，的面积为面积的一半，所以与的面积之和为四边形
10、面积的一半，所以与的面积之和等于四边形的面积，即：，得将、3、7分别代入检验，只有时等式成立，所以的面积为7，、的面积分别为8、6、9四边形ABCD的面积为小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的【答案】60【例 13】 已知是平行四边形，三角形的面积为平方厘米。则阴影部分的面积是 平方厘米。【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，第五题【解析】 连接。由于是平行四边形，所以，根据梯形蝴蝶定理，所以（平方厘米），（平方厘米），又（平方厘米），阴影部分面积为（平方厘米）。【答案】21【例 14】 正方形ABCD边长为6厘米，AEAC，C
11、FBC。三角形DEF的面积为 平方厘米。【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第13题【解析】 为,所以三角形的面积为三角形的，即正方形 的。因为，所以三角形的面积为三角形面积的，所以四边形的面积是三角形面积的，即正方形面积的，因为，所以三角形的面积是正方形面积的，所以三角形的面积是正方形面积的，即（平方厘米）。【答案】10【例 15】 如图4，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89、28、26，那么三角形DBE的面积是 。【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，复赛，第8题，5分【解析】 根据题意可知，所以，那么，故【答案】
