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1、一、知识要点： 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b2-4ac。 0时，方程有两个不相等的实数根。 =0时，方程有两个相等的实数根。 0 方程有两个不相等的实数根。 （2）将方程化为一般形式 3x2-2 x+2=0 a=3, b=-2 ,c=2 =b2-4ac=(-2)2-432=0, 方程有两个相等的实数根。 （3）将方程化为一般形式 x2-x+1=0 方程两边同乘以2（为了计算简便），得 x2- x+2=0 a= , b=- , c=2 =(-)2-4 2 =2-8 0, 方程有两不等实根； 当a与c同号时，0, -4(m2+2)20, 即0时，关于x的方程c(x2
2、+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根，求证：ABC为Rt。 证明：整理原方程： 方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0. 整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2ax=0 (c+b)x2-2ax+cm-bm=0 根据题意： 方程有两个相等的实数根， =(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=0 4ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0 ma2-c2m+b2m=0 =m(a2+b2-c2)=0 又 m0,a2+b2-c2=0 a2+b2=c2 又a,b,c为ABC的三边， ABC为Rt。 例5若a,b,c为实数，关于x的方程2x2+2(a-c)x+(a-b)
3、2+(b-c)2=0有两个相等的实数根，求证a+c=2b. 分析：根据判别式定理的逆定理，由方程有两个相等实根，可知=0，经整理化为关于方程中系数的等式，从而导出结论。 证明：一元二次方程有两个相等实数根， =0，即2(a-c)2-42(a-b)2+(b-c)2=0 (a-c)2-2(a2-2ab+b2+b2-2bc+c2)=0 a2+4b2+c2+2ac-4ab-4bc=0 (a+c)2-4b(a+c)+4b2=0 (a+c-2b)2=0 a+c-2b=0 即a+c=2b. 注意：利用一元二次方程的根的判别式进行有关的证明，就是根据判别式大于0，小于0或等于0的情况，结合已有的其它知识来证明
4、结论的，有时要应用乘法公式进行恒等变形。 例6若关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个实数根，求m的取值范围。 分析：已知方程有两个实数根，说明它是一元二次方程，即二次项系数m20，又由判别式定理的逆定理可知0，m的取值范围是受这两个条件限制的，解之即可。 解： 方程有两个实数根， 即 解得m- 且 m0, 当m- 且m0时，方程有两个实数根。 注意：不要漏掉题中的隐含条件“二次项系数m0”。 例7若关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0有实数根，求m的取值范围。 分析：此题易误认为所给方程是一元二次方程，而用0，且m2-10来解，事实上，题目中没有给出方程的次数，也
5、没有指明方程的根的个数，因此应考虑方程为二次方程和一次方程两种情况。 解：本题有两种情况： （1）若方程是一元二次方程，并且有实根，则必有： 即m- 且m1. （2）若方程为一次方程，则 解得 m=1， 当m=1时，原方程为-6x+1=0，有实根x= , 当m=-1时，原方程为-2x+1=0，也有实根x= . 综合（1），（2），得m- 时，原方程有实数根。 注意：对比以上两个例题，都是由方程的根的情况求m的取值范围，但解题思路却不太相同。 例6说“方程有两个实数根”，隐含着方程是一元二次方程的条件，例7说“方程有实数根”，却没有这样的隐含条件，所以例7要分二次方程和一次方程的两种情况讨论。本
6、题所用的是分类讨论思想。利用分类讨论思想解答问题，要注意：分类要按同一标准进行，同时分类要做到不重不漏，最后要综合几种情况得出结论。 例8已知，关于x的方程x2- x+k=0有两个不相等的实数根。 （1）求k的取值范围。 （2）化简：|-k-2|+ 解：=(-)2-4k=2k+4-4k=-2k+4 方程有两个不相等的实数根，即0， -2k+40, k2, 又2k+40, k-2. k的取值范围是 -2k0时方程有两个不相等的实数根； 当=0时方程有两个相等的实数根； 当0时方程没有实数根。 2根的判别式应用极为广泛，主要有以下几方面： （1）不解方程，判断根的情况，步骤是：化方程为一般形式，确
7、定a,b,c的值；计算b2-4ac，并确定它的符号；用定理判断根的情况。 （2）给出根的情况，求方程中字母系数的取值范围。解题步骤是：化方程为一般形式，确定a,b,c的值；求判别式，它是含有未知数的代数式；根据题目所要满足的条件列出方程或不等式；解方程或不等式，确定字母取值范围。当方程有两个实数根时，应结合二次项系数不等于零加以考虑，这一点往往容易忽视，应特别小心。 （3）利用根的判别式证明方程根的情况。此类题比较综合，运用配方法和因式分解技巧，结合非负数的有关性质进行推导才能奏效。 考题评析 1（甘肃省）在一元二次方程中，若系数b和c可在1，2，3，4，5，6中取值，则其中有实数解的方程的个数是_。 考点：一元二次方程根的判别 评析：因为b、c可在1、2、3、4、5、6中取值保证方程有根。所以=b24ac0，而a=1，所
