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1、四元数quaternions复数对四则运算,代数运算,极限自封.四元数是复数的扩展.四元数有四个单元:.四元数定义,其中另一四元数,则四元数加减法定义对应分量相加减;四元数乘法定义为四元数的单元间的运算规则: 四元数加法适合结合律,交换律;四元数乘法适合结合律但不适合交换律,即而一般.()对实数有效的运算规则对复数总有效,但对复数有效的运算规则对四元数不总有效,(如上述的乘法的交换律)！四元数的共轭: ,若性质:四元数的迹: 性质: 四元数的模: 性质: ,证明: ,即,同理证明:若是方程的根,则也是其根.因为,是方程的根也是其根)四元数域内二次方程一般不止两个根,如最简单的方程就最少存在6个
2、根,实际上有无穷多个根,因为使成立的实数有无穷多个,而Halmiton四元素体;第一个非交换体,1843年W.R.Hamilton为建立三维复数空间,把复数x+iy作为有序偶的实数,并定义规则,使i在有明确意义:4阶实方阵集H内方阵型如,令,则集H内任意方阵可唯一表为,即,H对矩阵减法封闭;且,矩阵乘法在H内封闭,故H对矩阵加,乘法构成环;H的元素个数1;是H的单位元,又因,且当时,不全为零,故,所以H中非零元在H内存在逆元,综上所述H是非交换体,常称H为四元数环,称H内的元为四元数Quaterion: t+xi+yj+zk,其中t为数量部分/纯量部分,xi+yj+zk为向量部分.四元数系构成
3、了以实数域为系数域的有限维可除代数,是向量代数和向量分析基础.矢量运算规则两矢的内积:两矢的外积: , 物理意义: 两矢内积是功; 两矢外积的模是以两矢的为边平行四边形的面积. 故内积可交换,外积可反交换外积和内积的关系:即推论 四元数和两重积间的联系:两四元数,;两矢量,间关系两矢内积和四元数间的关系:两量积,即两矢内积对应于四元数的实部.两矢外积和四元数间的关系:矢量内积,即两矢外积对应于四元数的非实部.两矢内积,外积和四元数间的关系:三矢内积,物理意义: 三矢的内积是以三矢为边的平行六面体的体积性质:推论:三矢外积推论四矢内积:四矢外积:推论 流线 等X面/线 通量 环流量 散度 旋度
4、方向导数 梯度为形象描述矢量场定义的流线.为形象描述标量场定义的等X面/线.为开/闭有向曲面上一面元,矢量在面元上的元通量,面积分得矢量场在曲面上的通量(标)为开/闭有向曲线上一面元,矢量在线元上的元环量,线积分得矢量场在曲线上的环量(标)矢量场的散度(标):描述有源场源/汇强度. 正/负/零散度对应于源/汇/无源无汇闭合曲面包围体积,时在上的通量与比的极限称为矢量场的散度矢量场的旋度(矢):描述有旋场旋涡强度和旋涡法矢方向. 旋度的法向分量的模的大小顺比于涡旋场旋涡程度.闭合曲线包围有向曲面,时在上的环量与的比的极限称为矢量场的旋度沿法向的分量等效于时标量场的梯度(矢):描述标量场各点空间变
5、化率及方向.某场点的梯度的方向是标量场变化最快的方向,其模是标量场单位长度的变化率.场沿向改变,称为沿向的方向导数,等于的梯度的向分量积分变换公式Gauss定律: (的散度对体积V体积分 转换 对V的包面的闭面积分)Stokes定律: (对有向曲线的闭线积分 转换 的旋度对以为边的有向曲面的面积分)Green恒等式:(:外法线方向导数)Green 定理: () () ()并矢 及其运算标量是零阶张量,矢量是一阶张量,二阶三维张量借助于直角坐标转动矩阵定义:矢量在坐标架转动满足变换关系,坐标转动矩阵即二阶张量.二阶张量满足变换关系.由两矢并列放置且之间无运算则构成并矢,含9个分量,记为,由于和分
6、别满足:,故并矢满足,故并矢是二阶张量的一种形式,显然三个矢量的并矢具有三阶张量的变换关系.,单位并矢(单位二阶张量),性质: ;(为矢量或算符); ; ;并矢-矢量点乘区分左右:右点乘;左点乘,这样,三矢外积可用并矢表示两二阶张量间的双点乘:(或)双点乘得到的标量是两矩阵积的迹.并矢的微分运算要注意是对那个张量进行的,一般需加括号.根据以上矢量运算定理,可把Gauss定理和Stokes定理的运算推广到对标量,矢量,张量的各种运算算符具有:矢量性和算符性.对矢量左/右/点/叉乘不可交换,矢量运算规则也适于,但需调整在结果中的位置,使等式左右量同型.(第一式点和叉换位,取正;第二式交换第一式中的
7、两矢量次序,取负) (按写结果,再调整次序,使右端得矢量) ;Coulomb定理的微分式:Green函数标量场的梯度场无旋无旋场必可表为一标量场的梯度矢量场的旋度场无源涡旋场必可表为一矢量场的旋度,为常矢:;场量的Taylor展开在附近采用并矢符号展开:其中故.Taylor展开:其中取1,2,3; 代表直角坐标系的三个分量,注意:1 上式是对展开; 2 对的展开和对的展开相差一个负号.曲线正交坐标系(Krummlinigen Koordinaten)三维空间里确定一点P的位置需3个坐标.若P点坐标在直角坐标系中表为,则,两坐标系等价.常数的曲面是坐标面,他们的单位法向矢量为,其指向为增加的方向
8、.当过P点的三坐标曲面两两垂直时,三坐标面的三交线也两两垂直,称此类坐标系为正交曲线坐标系.正交条件.由得 ,其中,称为Lame系数或度量因子.正交曲线坐标系中的Nabla算符,梯度,散度,旋度和Laplace算符Nabla算符矢量算符Laplace算符标量算符乘矢/标得矢/标梯度散度旋度常见3维坐标系直角坐标系柱坐标系球坐标系,Delta函数定义性质1 偶函数2 采样性3 函数下的面积; 4 缩放 证明5 若为连续函数,且为包含a电的任意长度区间,则证明若为单值连续函数,且有N个过零点,则6 复合函数证明: 单值连续,则在每个过零点的邻域内可逆;且为任意品优(gutartig)函数,则被积函数须相等,再由的任意性,得6 导数则证明7证明三维函数曲线系下的三维函数,(其中为Jacobi行列式)柱坐标系下球坐标系下注意:n维函数的量纲为,即函数的逼近钟形曲线:Gauss曲线;sinc函数:sinc函数平方:复指函数:盒子函数:
