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1、专题训练(三),平行四边形中动态问题 专题训练( ( 三) ) 平行四边形中得动态问题 班别 姓名 ( ( 教材 8 P68 习题第 3 13 题得变式与应用) ) 【原题】(人教版八年级下册教材第 68 页第 13 题) 如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,B90,AB8 cm ,AD24 cm ,BC26 cm 、点 P从点 A 出发,以 1 cm / s 得速度向点 D 运动;点 Q 从点 C 同时出发,以 3 cm / s 得速度向点 B运动,规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.从运动开始,使 PQCD,分别需经过多少时间？为什么？ 1 1.如图,在四边形ABCD
2、中,ADBC,AD6,BC16,点E就是 BC 得中点.点 P 以每秒 1 个单位长度得速度从点A 出发,沿 AD 向点 D 运动;点 Q 同时以每秒 2 个单位长度得速度从点C出发,沿CB向点B运动.点P停止运动时,点Q也随之停止运动.求当运动时间t为多少秒时,以点P、Q、E、D为顶点得四边形就是平行四边形. 2 2.如图,A,B,C,D 为矩形 ABCD 得四个顶点,AB25 cm ,AD8 cm ,动点 P,Q 分别从点 A,C 同时出发,点 P 以 3 cm / s得速度向点 B 移动,运动到点 B 为止,点 Q 以 2 cm / s 得速度向点 D 移动. (1)P,Q 两点从出发开
3、始到第几秒时,PQAD? (2)试问:P,Q 两点从出发开始到第几秒时,四边形 PBCQ得面积为 84 平方厘米. 3 3.如图,平行四边形 ABCD 中,AC6,BD8,点 P 从点 A 出发以每秒1 cm 得速度沿射线 AC 移动,点 Q 从点 C 出发以每秒 1 cm 得速度沿射线 CA 移动. (1)经过几秒,以 P,Q,B,D 为顶点得四边形为矩形？ (2)若 BCAC 垂足为 C,求(1)中矩形边 BQ 得长. 4 4.如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,B90,AB8 cm ,AD12 cm ,BC18 cm ,点 P 从点 A 出发以 1 cm / s得速度向点 D 运动;
4、点 Q 从点 C 同时出发,以 2 cm / s 得速度向点 B 运动,当点 Q 到达点 B 时,点 P 也停止运动,设点 P、Q 运动得时间为 t 秒. (1)作 DEBC 于 E,则 CD 边得长度为 10 cm ; (2)从运动开始,当 t 取何值时,四边形 PQBA 就是矩形？ (3)在整个运动过程中就是否存在t值,使得四边形PQCD就是菱形？若存在,请求出t值;若不存在,请说明理由. 备用图 5 5.如图,已知矩形 ABCD,AD4,CD10,P 就是 AB 上一动点,M、N、E 分别就是 PD、PC、CD 得中点. (1)求证:四边形 PMEN 就是平行四边形; (2)请直接写出当
5、 AP 为何值时,四边形 PMEN 就是菱形; (3)四边形PMEN有可能就是矩形吗？若有可能,求出AP得长;若不可能,请说明理由. 参考答案 【例】 (人教版八年级下册教材第 68 页第 13 题) 如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,B90,AB8 cm ,AD24 cm ,BC26 cm 、点 P 从点 A 出发,以 1 cm / s 得速度向点 D 运动;点 Q 从点 C 同时出发,以 3 cm / s 得速度向点 B 运动,规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.从运动开始,使 PQCD,分别需经过多少时间？为什么？ 【解答】设经过 t s 时,四边形 PQCD 就
6、是平行四边形, APt,CQ3t,DP24t, DPCQ、24t3t、 t6,即经过 6s 时,四边形 PQCD 就是平行四边形,此时 PQCD,且 PQCD、 设经过 t s 时,PQCD,即四边形 PQCD 就是等腰梯形, APt,BQ263t, t263t2,t7、 综上所述当 t6 s 或 7 s 时,PQCD、 【方法归纳】 根据动点运动过程中构造得特殊四边形得性质列方程求解. 1 1.如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,AD6,BC16,点 E 就是 BC 得中点.点 P 以每秒 1 个单位长度得速度从点 A 出发,沿 AD 向点 D 运动;点 Q 同时以每秒 2 个单位长度得
7、速度从点 C 出发,沿 CB 向点 B 运动.点 P 停止运动时,点 Q 也随之停止运动.求当运动时间 t 为多少秒时,以点 P、Q、E、D 为顶点得四边形就是平行四边形. 解:由题意可知,APt,CQ2t,CE 12 BC8、ADBC,当 PDEQ 时,以点 P、Q、E、D 为顶点得四边形就是平行四边形. 当 2t8,即 t4 时,点 Q 在 C、E 之间,如图甲.此时,PDADAP6t,EQCECQ82t, 由 6t82t 得 t2、 当 82t16,且 t6,即 4t6 时,点 Q 在 B、E 之间,如图乙.此时,PDADAP6t,EQCQCE2t8,由 6t2t8 得 t 143、 当
8、运动时间为 2 s 或 143s 时,以点 P、Q、E、D 为顶点得四边形就是平行四边形. 图甲 图乙 2 2.如图,A,B,C,D 为矩形 ABCD 得四个顶点,AB25 cm ,AD8 cm ,动点 P,Q 分别从点 A,C同时出发,点 P 以 3 cm / s 得速度向点 B 移动,运动到点 B 为止,点 Q 以 2 cm / s 得速度向点 D 移动. (1)P,Q 两点从出发开始到第几秒时,PQAD? (2)试问:P,Q 两点从出发开始到第几秒时,四边形 PBCQ 得面积为 84 平方厘米. 解:(1)设 P,Q 两点从出发开始到第 x 秒时,PQAD, 四边形 ABCD 就是平行四
9、边形, ABCD,即 APDQ、 PQAD, 四边形 APQD 就是平行四边形. APDQ、 3x252x、解得 x5、 答:P,Q 两点从出发开始到第 5 秒时,PQAD、 (2)设 P,Q 两点从出发开始到第 a 秒时,四边形 PBCQ 得面积为 84 平方厘米, BP253a,CQ2a, 根据梯形面积公式得: 12 (253a2a)884、解得 a4、 答:P,Q 两点从出发开始到第 4 秒时,四边形 PBCQ 得面积为 84 平方厘米. 3 3.如图,平行四边形 ABCD 中,AC6,BD8,点 P 从点 A 出发以每秒 1 cm 得速度沿射线AC 移动,点 Q 从点 C 出发以每秒
10、1 cm 得速度沿射线 CA 移动. (1)经过几秒,以 P,Q,B,D 为顶点得四边形为矩形？ (2)若 BCAC 垂足为 C,求(1)中矩形边 BQ 得长. 解:(1)当 t7 秒时,四边形 BPDQ 为矩形. 理由如下:当t7 秒时,PAQC7, AC6, CPAQ1、 PQBD8、 四边形 ABCD 为平行四边形,BD8,AC6, AOCO3、 BODO4、 OQOP4、 四边形 BPDQ 为平形四边形. PQBD8, 四边形 BPDQ 为矩形. (2)由(1)得 BO4,CQ7, BCAC, BCA90、 BC2 CQ 2 BQ 2 、 BQ 562 14、 4 4.如图,在四边形
11、ABCD 中,ADBC,B90,AB8 cm ,AD12 cm ,BC18 cm ,点 P 从点 A 出发以 1 cm / s 得速度向点 D 运动;点 Q 从点 C 同时出发,以 2 cm / s 得速度向点 B 运动,当点 Q 到达点 B 时,点 P 也停止运动,设点 P、Q 运动得时间为 t 秒. (1)作 DEBC 于 E,则 CD 边得长度为 10 cm ; (2)从运动开始,当 t 取何值时,四边形 PQRA 就是矩形？ (3)在整个运动过程中就是否存在 t值,使得四边形PQCD 就是菱形？若存在,请求出t 值;若不存在,请说明理由. 备用图 解:(2)如图 1,由题意得:APt,
12、DP12t,CQ2t,BQ182t、 要使四边形PQBA就是矩形,已有B90,ADBC即APBP,只需满足APBQ即t182t,解得 t6,因此,当 t6 秒时,四边形 PQBA 就是矩形. (3)不存在,理由: 如图 2,要使四边形 PQCD 就是平行四边形,已有 ADBC 即 DPCQ, 只需满足 DPCQ 即 12t2t, t4 时,四边形 PQCD 就是平行四边形, 但 DP12t810,即 DPDC, 按已经速度运动,四边形 PQCD 只能就是平行四边形,但不可能就是菱形. 5 5.如图,已 知 矩形 ABCD,AD 4,CD 10,P就是 AB 上 一 动点,M、N、 E 分别就是
13、 PD、 PC 、CD 得中点. (1)求证:四边形 PMEN 就是平行四边形; (2)请直接写出当 AP 为何值时,四边形 PMEN 就是菱形; (3)四边形 PMEN 有可能就是矩形吗？若有可能,求出AP 得长;若不可能,请说明理由. 解:(1)M、N、E 分别就是 PD、PC、CD 得中点, ME 就是 PC 得中位线,NE 就是 PD 得中位线. MEPC,ENPD、 四边形 PMEN 就是平行四边形. (2)当 AP5 时, 在 Rt PAD 与 Rt PBC 中, APBPABADBC PADPBC( SAS ). PDPC、 M、N、E 分别就是 PD、PC、CD 得中点, NEPM 12 PD,MEPN12 PC、 PMMEENPN、 四边形 PMEN 就是菱形. (3)四边形 PMEN 可能就是矩形. 若四边形 PMEN 就是矩形,则DPC90、 设 PAx,PB10x, 则 DP 42 x 2 ,CP 4 2 (10x) 2 、 DP2 CP 2 DC 2 , 即 16x2 16(10x) 2 10 2 , x2 10x160、 解得 x2 或 x8、 故当 AP2 或 AP8 时,四边形 PMEN 就是矩形.
