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1、第三章 稀疏技术的应用第一节 节点导纳矩阵及其稀疏存储一、 节点导纳矩阵 节点导纳矩阵Y是电力网络的一种数学模型。它描述网络的连接情况和支路的导纳值，广泛用于电力系统的潮流计算。包含网络中所有节点的导纳矩阵称为全节点导纳矩阵。电力系统计算用的导纳矩阵通常是不完全的，是从完整的全节点导纳矩阵中除去对应参考点的行和列形成的。 如图3.1简单网络，若将中性点（地）记为0号节点，则网络的全节点导纳矩阵为44矩阵。 (3-1)显然是奇异矩阵。它各行（列）的所有元素之和为零，即其行列式值为零。应用于网络方程为 这里是所有节点(包括0号节点)注入电流的列向量。按照克希荷夫第一(电流)定律,应有，即他们是相关
2、的。其中任意一个必为其余各个电流元素之和的负值。 是节点电压列向量,是各节点相对于某一共同参考点的电压(电位差)。若已知，则可求。反之，给定时，因是奇异阵，其逆不存在，故没有唯一解。从电路关系上看，只要各节点电压差保持一定关系，各节点电压数值可因选取的参考点不同而共同浮动，亦即可有无穷多解。12 y12 y13y233y20y10图3.1 简单网络 为了便于计算，选取其中任一节点作为参考点，通常取此节点电压为零，其余各节点电压均为该节点对此参考点的电压（电位差）。参考点电压为零，其电流又可由其他节点注入电流之和求得，所以可将中对应参考点的列和行删去，免去与之有关的计算。习惯上，一般取中性点（地
3、）为参考点，即零电位点。删去相应的列和行，形成通常的节点导纳矩阵。 （3-2） 有时某个网络或某种计算中，需要改变参考点，例如将节点r取代地作为参考点，则先恢复原来完整的全节点导纳矩阵，再删去新的参考点r对应的行和列。即可获得新的对应节点r为参考点的节点导纳矩阵。以此导纳矩阵作网络方程计算时，要注意所用的节点电压是各节点对新参考点的电压，而不是原来的对地电压。例如，原来是以地为参考点时，由网络方程可解得某节点的注入电流 而当改以r节点为参考点时，由网络方程可得： 式中为以r节点为参考点时的节点电压。它与原来以地为参考点时的电压关系为 由这二个方程求得的注入电流应该是相同的。将的值代入。得 但
4、从而 说明两种算法的结果是一致的。 若计算所用网络没有接地支路，是所谓“悬浮”网络，Y就是全节点导纳矩阵，是奇异矩阵。求解此网络时，应改选另一适当的节点为参考点，形成新的节点导纳矩阵。这个矩阵不包括与r节点对应的行和列，即这时比Y少一阶。应该注意的是，运算用的电压是各节点对参考点的电压。但一般电力系统要求的是各节点的对地电压，所以在计算完后，还应将求得的电压加上参考点的对地电压。观察式（3-2）的导纳矩阵Y，当图3.1任意两节点间有支路直接相连，相应的对称的元素为 即导纳矩阵是对称的。自然，若任意两节点间没有支路直接相连，相应的对称的元素都为零，即导纳矩阵非对角非零元素数应等于网络支路数的两倍
5、，以矩阵上（或下）三角而言，则其非对角非零元素数正好等于网络的支路数。实际上，电力系统网络各节点往往只与其中几个节点有支路相连，而与其余大部分节点无联系，因而导纳矩阵有许多零元素，是很稀疏的。如果网络中具有非标准变化的变压器支路，例如间为非标准变比变压器支路时，其等值电路可有如图3.2（a）和(b)两种。其中为变压器导纳值。ijij 图3.2 变压器等值电路 （a） （b）对应图3.2（a）中电路，有 (3-3)式中和分别为支路i-j对i和j节点自导纳的增量。对应图3.2（b）等值电路，有 (3-4) 有些网络还装有改变线路两端电压（电流）相角的移相器，移相器的等值电路示于图3.3。图中为移相
6、器导纳，为移相器所移动的相角，即 i j 图3.3 移相器的等值电路 据此可求得导纳矩阵各有关元素为 (3-5)由上式可知，移相器的存在并不影响对角元素，但影响非对角元素，使，破坏了导纳矩阵的对称性。通常移相器较少，计算时可将它单独处理。不考虑移相器时，网络仍然是对称的。有些变压器既能改变电压又能改变相角，此时可将式（3-3）或式（3-4）与式（3-5）结合计算，不再赘述。导纳矩阵对应于网络支路的联接状况，当支路联接状况改变时，例如断开某一支路，并入某一支路或者改变线路参数等，导纳矩阵也就相应改变。但这种改变只涉及与变化支路有关的元素，即两个对角元素与两个非对角元素。如支路的改变只改变和、四个
7、元素，其他元素不变。这正是用节点导纳矩阵描述网络的方便之处。二、导纳矩阵的形成 当网络给定时，节点导纳矩阵很容易形成，比较式（3-2）和图3-1可知，节点导纳的阶数等于网络的节点数（不包括参考节点）。矩阵的对角元素即自导纳等于与该节点连接的所有支路的导纳之和，非对角元素即互导纳则为连接两点支路导纳的负值。 电力网络一般由输电线路和变压器等元件组成。当元件的等值电路已知时，则由这些元件组成的网络可知，从而可形成该网络的节点导纳矩阵。 b/2 b/2 图3.4 输电线路的等值电路 r、x电力系统输电线路的等值电路如图3.4所示。其中r、x为线路串联电阻、电抗，b/2为线路容纳，据此可得 (3-6)
8、 变压器支路的等值电路已示于图3.2。当变压器绕组电阻（常可忽略），漏抗及变比给定时，用（a）所示的等值电路，有 (3-7)5134 图3.5 6个节点的网络26 无论按式（3-6）还是按式（3-7）计算，都需知道支路的五个参数i、j、r、x、b/2(或)， 输入全部支路的这些参数可以形成网络的节点导纳矩阵。由于计算公式不同，需要区分是输电线支路还是变压器支路。区别方式可由程序设计者自定。例如，在变压器支路两端对一个节点号前，人为增加一个负号，就可以简单地将变压器支路与输电支路区别开来。由于变压器支路对两端节点自导纳的作用不同。应该限定负号加在某一侧。这里规定负号加在图3.2（a）的漏抗侧。如
9、图3.5网络。这是6个节点的网络，网络节点数n=6，支路数l=7，支路参数如表3-1所示。 表3-1 6个节点网络的支路参数ijrxb/2( 或K )-1223242534545-6 输入支路参数 L F 判断支路类型 判断标准侧 按输电线支路计算 按变压器支路计算 N 最后支路？ END 图3.6 形成网络节点导纳矩阵框图读者可按自己熟悉的计算机语言编写程序。这样形成的节点导纳矩阵，各元素与一个二维数组一一对应。这种存储方式称为满阵存储,特点是程序设计简单、使用方便、支路参数不必按支路顺序读入，适用于节点少的网络。由于矩阵是对称的，而且对于较多节点的电力网络，矩阵中必然存在许多零元素。显然，
10、这种存储方式占用许多不必要的计算机容量。因此应该采用稀疏存储方式。三、导纳矩阵的稀疏存储根据节点导纳稀疏、对称的特点，为了节省计算机内存容量和较少计算机工作量，免除零元素的存储和运算，应只存储非零元素。这种存储方式叫做稀疏存储方式。稀疏存储方式很多，根据矩阵的对称性，下面以只存上三角元素为例介绍几种用一维数组存储的方式。方式1. 设有一维数组DY，Y，IY，JY，将对角元素存于DY数组中，即，也就是说，。将非对角元素存在于Y数组中，各元素的行号和列号分别存在于用以识别的IY和JY数组中，即 其意义为，若网络第k支路两端点为i、j，即矩阵上三角部分的第k个非零元素位于第i行第j列，则有，这样就将矩阵各元素的值和行号i,列号j分别存于各数组的对应位置。虽然，对每一组、i和j来说iN，若认为L=1.5N，则共需2N+4L=8N个内存单元。这种方式也称为散居格式。方式2. DY，Y和JY各数组含义与前相同，但Y中各元素按一定规律排列。设按行顺序排列，因而也称为按行格式。另设IS数组，它存的是各行第一个非对角非零元素在Y中的位置号，即： 第一行 第二行 第i行 个元素 个元素 个元素 这里是第i行非对角非零元素个数。IS共有n个元素，分别是 （3-8） 显然IS（l）=1。第n行没有非对角元素，IS（n）没有实际意义。为便于程序处理，仍令IS（n）
