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1、课题17二次函数的综合应用A组基础题组一、选择题1.(2019衡水安平模拟)某旅游景点的收入受季节的影响较大,有时候出现赔本的经营状况.因此,公司规定:在无利润时,该景点关闭.经跟踪测算,该景点一年中的利润W(万元)与月份x之间满足二次函数W=-x2+16x-48,则该景点一年中处于关闭状态的月份个数是()A.5B.6C.7D.82.(2019河北模拟)抛物线y=-23x2+2bx与x轴的两个不同交点是点O和点A,顶点B在直线y=33x上,则关于OAB的判断正确的是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.(2019邢台宁晋模拟)点A,B的坐标分别为(-2,3)和(1
2、,3),抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点在线段AB上运动时,形状保持不变,且与x轴交于C,D两点(C在D的左侧),给出下列结论:c3;当x0时,直线y=kx+b(k0)与抛物线y=ax2(a0)的函数值都随着x的增大而增大;AB的长度可以等于5;OAB有可能成为等边三角形;当-3x2时,ax2+kxb.其中,正确的结论是()A.B.C.D.二、填空题3.(2019沧州模拟)如图,矩形ABCD的长AB=6 cm,宽AD=3 cm.O是AB的中点,OPAB,两半圆的直径分别为AO与OB.抛物线y=ax2经过C,D两点,则图中阴影部分的面积是cm2.4.(2019邯郸模拟)如图,在1010的
3、网格中,每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点.若抛物线经过图中的三个格点,则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”.以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为32,且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点,则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是.三、解答题5.(2019廊坊模拟)如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底DE是水平的,DE=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是11米.以DE所在的直线为
4、x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的表达式;(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底DE的距离h(单位:米)随时间t(单位:时)的变化满足函数关系h=-1128(t-19)2+8(0t40),且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,在这一时段内,需禁止船只通行多少小时?答案精解精析A组基础题组一、选择题1.A对于W=-x2+16x-48,令W=0,得x2-16x+48=0,解得x=12或4,由W=-x2+16x-48=-(x-8)2+16可知,该景点一年中处于关闭状态的月份有1月,2月,3月,4月,12月,共5个月.故选A.2.A抛物线y=-23x2
5、+2bx的顶点B的坐标为32b,32b2,代入直线y=33x中,得32b2=3332b,解得b=33或b=0(舍去).点O(0,0),A(3,0),B32,12,根据勾股定理,得OB=1.根据抛物线的对称性,可知AB=OB=1,OAB是等腰三角形.点B的横坐标与纵坐标不相等,OAB不是等腰直角三角形,排除选项B,D;OA=31,OAB不是等边三角形.综上所述,故选A.3.A点A,B的坐标分别为(-2,3)和(1,3),线段AB与y轴的交点坐标为(0,3).又抛物线的顶点在线段AB上运动,抛物线与y轴的交点坐标为(0,c),c3,(顶点在y轴上时取“=”),故错误;抛物线的顶点在线段AB上运动,
6、当x-2时,y随x的增大而增大,可知当x-3时,y随x的增大而增大,故正确;若点D的横坐标最大值为5,则此时对称轴为直线x=1,根据二次函数的对称性,点C的横坐标最小值为-2-4=-6,故错误;抛物线的顶点在线段AB上运动,顶点的纵坐标为3,即4ac-b24a=3.CD2=(xD-xC)2=(xD+xC)2-4xDxC=-ba2-4ca=b2-4aca2=-4a4ac-b24a=-12a.四边形ACDB为平行四边形,CD=AB=1-(-2)=3.-12a=32=9,解得a=-43,故正确.综上所述,正确的结论有.故选A.二、填空题4.答案6+215解析设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k
7、(a0),把顶点B(6,5),A(0,2)代入,求得抛物线的解析式为y=-112(x-6)2+5=-112x2+x+2.令y=0,则-112x2+x+2=0,解得x=6+215或x=6-215(不合题意,舍去).5.答案234解析设点A(m,n),根据题意,得n=12m-m2,nm=12,解得:n=0(舍去),或n=234.6.答案25解析y=-x2+8x-394=-(x-4)2-254,令y=0,解得x=132或32.则在红色区域内部及其边界上的整点为(2,0),(3,0),(4,0),(5,0),(6,0),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5)
8、,(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2)共25个,故答案为25.三、解答题7.解析(1)当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,抛物线的顶点坐标为(0,3.5).设抛物线的表达式为y=ax2+3.5,把点(1.5,3.05)代入,得2.25a+3.5=3.05,解得a=-0.2.抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5.(2)设球出手时,他跳离地面的高度为h m,y=-0.2x2+3.5,而球出手时,球的高度为h+1.8+0.25=(h+2.05),h+2.05=-
9、0.2(-2.5)2+3.5,解得h=0.2.答:球出手时,他跳离地面的高度为0.2 m.8.解析(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k0),把点(12,74),(28,66)代入,得12k+b=74,28k+b=66,解得k=-0.5,b=80,y与x之间的函数关系式为y=-0.5x+80.(2)根据题意,得(-0.5x+80)(80+x)=6 750,解这个方程,得x1=10,x2=70.投入成本最低,x2=70不满足题意,舍去.增种果树10棵时,果园可以收获果实6 750千克.(3)根据题意,得w=(-0.5x+80)(80+x)=-0.5x2+40x+6 400=-0.5(x
10、-40)2+7 200,a=-0.50时为增函数,则x0时,直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大,正确;由A,B横坐标分别为-2,3,若AB=5,可得出直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k0矛盾,故AB不可能为5,错误;若OA=OB,得到直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k0矛盾,OAOB,即AOB不可能为等边三角形,错误;直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称,如图所示:可得直线y=-kx+b与抛物线交点C,D横坐标分别为-3,2,由图象可得:当-3x2时,ax2-kx+b,即ax2+kxb,正确.综上所述,正确的结论有.二、填空题3.答案98解析该抛物线是以y轴为对称轴的图形,
11、S阴影=S半圆=12AB42=12642=98(cm2).4.答案14解析如图,可求得经过点(0,0),(1,3),(3,3)的抛物线的解析式为y=-x2+4x,把这条开口向下抛物线向右平移1个单位、向上平移1个单位得到一条抛物线,可平移6次,一共有7条抛物线;同理可得开口向上的抛物线也有7条.满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是7+7=14.三、解答题5.解析(1)根据题意,得C(0,11),设抛物线的表达式为y=ax2+11(a0).抛物线经过点A(-8,8),64a+11=8,解得a=-364.抛物线的表达式为y=-364x2+11.(2)画出抛物线h=-1128(t-19)2+8(0t40),如图所示.当水面到顶点C的距离不大于5米时,h6米.解方程-1128(t-19)
