高数教案第二章极限与连续.doc

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1、第一章 极限与连续第一节 数列的极限教学目的：理解数列极限的概念，掌握数列极限的定义教学重点、难点：数列极限的概念，理解掌握数列极限的定义教学形式：多媒体教室里的课堂讲授教学时间：90分钟教学过程一、引入新课半径为R的圆的面积公式？但是得到圆面积这个计算公式却是不容易的.看电视http:/ ，循此下去，每次边数成倍增加，得到一系列圆内接正多边形的面积构成一列有次序的数,其中内接正边形的面积记为 。练习题1。求半径为R的圆内接正三角形ABC的面积；内接正n边形的面积。答案： 练习题2。求半径为R的圆外切正三角形ABC的面积；外切正n边形的而积；答案： 如果内接正n边表的面积为，圆的面积为A，外接

2、正n边形的面积为，则有 在几何直观上,当n越大，对应的内接正多边形就越接近于圆，,即圆与正多边形的面积（）之差就越小,因此以（）作为圆面积的近似值就越精确.但无论内接正多边形的边数有多大,所计算的（） 始终不是圆的面积.于是设想,如果n无限增大(记为 ，读作 n趋于无穷大)时, （）无限接近某个确定的数。在数学上称这个确定数是上面给出的一列有次序的数(即数列)，（）当 时的极限 。在圆面积问题的讨论中,大家看到,正是这个数列极限才精确地表达了圆面积的结果,也可以说,解决圆面积所采用的方法就是极限方法。2、数列与函数的关系按照一定顺序排列着的一列数就叫做数列，记为，其中第 n项做叫数列的一般项。

3、数列的例子： 它们的一般项依次为数列 可以看作自变量为自然数n的函数 它的定义域是全体正整数。3、数列的几何意义从一维角度考察，数列 可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 然而，从二维角度考察，数列 可以看作XOY面上的点集（n，），在XOY平面上数列 表现为一个散点图。4、数列的散点图在XOY平面上画出如下数列的散点图：（1） ； （2） （3） （4） （5） （6） sin n 输出图形如（图21）至图（26）所示。 （图21 数列） （ 图22 ） 数列 （ 图23 数列） （ 图24 ） 数列 （ 图25） 数列的图形 （图26） 数列由（图21）至图（26）可以看出，随着n

4、的增大，越来越趋向于1；越来越大；越来越趋向于0；与之间变动；越来越趋向于；sin n在与之间变动5、 数列极限的直观定义对于数列 ，如果当无限增大时，数列的一般项 无限地接近于某一确定的常数，则称常数是数列 的极限，或称数列 收敛于，记为如果数列没有极限，称数列是发散的，例如，而， ， sin n 是发散的三、本节小结：数列与数列极限的概念四、课外作业：P21 习题21 1。选择题（1），（2） 第一章 极限与连续 第二节 数列的极限教学目的：掌握数列极限的定义，会用定义证明数列的极限，了解收敛数列的性质。教学重点、难点：用定义证明数列的极限教学形式：讲授法教学时间：90分钟教学过程一、引入

5、新课数列的极限描述性定义与几何表现例如：数列是有极限的，它的图象如下：ListPlotTable（n+n，1，50图2-5对于数列 ，如果当无限增大时，数列的一般项 无限地接近于某一确定的常数，则称常数是数列 的极限，或称数列 收敛于，记为如果数列没有极限，称数列是发散的。二、新授课1、数列极限的精确定义设有数列 及常数a，如果对于任意给定的正数，总存在一个正整数N，当时，不等式 恒成立，则称常数a为数列 的极限，或称数列 收敛于a，记作或，如果这样的常数a不存在，就说数列没有极限，或称数列发散。在直角平面坐标系OXY的Y轴上取以为a为中心，为半径的一个开区间，称它为a的邻域，记为O（a，）：

6、 O（a，）=“当时，不等式成立”表示数列中从N+1项起的所有项都落花流水在点a的邻域，即。由于具有任意性，也就是说邻域O（a，）的长度中（如图2-5）上下两条横线的距离可以任意收缩。但不管收缩得多么小，数列一定会从某一项起全部落在由这两条线界定的范围中，不难理解，a必为这个数列的极限值。要注意在述的收剑定义中，既是任意的，又是给定的。因为只有对确定的，才能找到相应的自然数N。问题：“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它。 给定，由，只要时，有， 给定，只要时，有， 给定，只要时，有， 给定，只要时，有成立例1 证明：证 对于任意给定的，要使 只要，取正整数，则当时，恒成立，故以2为极限

7、，即。 例中证明方法叫做解析法，也称倒推法，这是证明极限问题经常采用的方法。证明过程中，倒推语句“要使”，“只要”等不能省略，更不能写成颠倒的因果关系。在收敛的数列中，我们称极限为0的数列为无穷小量，例如，都是无穷小量。要注意，无穷小量是一个变量，而不是一个“非常小的量”（如）。常数列0，0，0，0，是一个特殊的无穷小量。从极限的定义可知，一个数列 收敛与否，收敛于哪个数，与这一数列的前面有限项列关。也就是说，改变数列前面的有限项，不影响数列的收敛性。例如数列10，100，1000，10000，的极限仍然是0。根据数列极限的定义来证明某一数列收敛 ，其关键是对任意给定的寻找自然数N。在上面的例

8、题中，是通过解不等式而得出的。但在大多数情况下，这个不等式并不容易解。实际上，数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳的自然数N，所以在证明中常常对适度地做一此放大处理，这是一种常用的技巧。例2 求证：=证明 首先我们有 显然当 时 于是，对任意给定的，取，当时，成立 上述不等式的放大，是在条件“”前提下才成立，所以在取N时，必须要求与同时成立。2.收敛数列的性质 性质极限的唯一性。数列 不能收敛于两个不同的极限。对于数列 ，如果存在实数M，使数列的所有的项都满足，n=1，2，则称M是数列 的上界，如果存在实数m，使数列 的所有的项都满足，n=1，2，3，则称m是数列 的下界。一个数列 ，若既有

9、上界又有下界，则称之为有界数列，显然数列 有界的一个等价定义是：存在正实数X，使数列的所有项都满足，n= n=1，2，3， 性质收敛数列的有界性。如果数列 收敛，那么数列 一定有界。 性质收敛数列的保号性。 如果数列 收敛于，且（ a0），那么当n充分大时，有0（或0）。 性质4 夹逼准则如果说数列 收敛于a ，数列收敛于a ，且（当n充分大时），则数列收敛于a。例子 求数列的极限。解 首先我们有= =取，则有由是无穷小量，且有，利用极限的夹逼性，得到因此，对数列极限概念应该形成这样一些正确认识：(1) 数列极限是对于无穷数列而言的，但无穷数列不一定都有极限；(2) 如果说一个无穷数列有极限，

10、则这个极限一定是一个常数； (3) 如果说无穷数列 以a为极限，则从数轴上看，对于任意开区间（a，0 ，都能找到某一项，使得在这一项之后的所有项都落在这个开区间内，即这个开区间之外最多只能有有限项。 三、本节小结：数列极限的精确定义四、课外作业：P21 习题2-1（3）下列数列收敛于的有（ ）；A BC D （4）下列数列收敛于的有（ ）；A BC D（5）若数列与数列的极限分别为与，且，则数列的极限为（ ）。A BC D不存在2在平面上画出如下数列的散点图，并指出极限：； 第一章极限与连续第三节 函数的极限教学目的：理解函数的极限的描述性定义，了解极限的性质，掌握极限的四则运算教学重点、难点

11、：极限的四则运算教学形式：多媒体教室讲授与演示教学时间：90分钟教学过程一、引入新课1.数列与函数的关系。2.数列极限的定义和几何判断二、新授课一 函数极限的定义 1当 x 时，函数的级限 （1）当 x +时，函数 的极限 如果当x取正值，并且无限增大时，函数无限地接近于某一确定的常数a ，则称常数a是函数当 x +时的极限，或称当 x +时，函数收敛于a 。记为 = a例如，由图27可以看出 =3输入f ： =（2 2x 1）/（2 1） Plot f x，x，2，300 输出图形，如图27所示。由图28可以看出： sin x 不存在输入 PlotSinx，x，1，100输出图形，如图28所示。 （2）当 x 时，函数的级限如果当x取负值，并且绝对值无限增大时，函数无限地接近于某一确定的常数a。则称常数a是函数当x - 时的极限，或称当x - 时，函数收敛于a。记为 = a例如，由（图29）可以看出 ： = 0输入 Plotx，x，-15，2输出图形，如图29所示。 （图2-9 ）