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1、巧构造，妙解题等腰三角形的性质定理和判定定理分别为：等边对等角，等角对等边。在求解或证明边 长与角度的问题时，如果能够巧妙地构造出等腰三角形，就可以利用等腰三角形的性质定理 和判定定理简便地解决问题。下面介绍几种构造等腰三角形的方法，供大家学习时参考。一、“角平分线+平行线”构造等腰三角形例1、如图，在 ABC中，已知ZABC和ZACB的平分线交于点F,过F作DE/BC,交AB于点D,交AC于点E,若BD + CE=10，则线段DE的长为A分析：由DE/BC, BF和CF分别平分ZABC和ZACB,先判断 BDF和ACEF是等 腰三角形，从而将DE转化为DF + FE= BD + CE解: V
2、BF 平分ZABC,AZDBF=ZFBC，又 *ZDE/BC,则ZDFB=ZFBC,ZDBF= ZDFB,ADB=DF，同理 EF=EC,ADE=DF + FE= BD + CE=10二、“角平分线+垂行线”构造等腰三角形例2、如图所示，在 ABC中，BM是ZABC的平分线，AD丄BM于点D,求证：ZBAD=ZDAC + ZCA分析：由BM是ZABC的平分线，AD丄BM,我们只要延长AD与BC交于点， ABE 就是等腰三角形。证明：延长交BC于点E,VBM是ZABC的平分线，.ZABD=ZEBD,TADIBM, /ABD = ZEBD.ZADB=ZEDB=90，在ABD 和厶EBD 中， ZA
3、DB = /EDB , .ABDEBD,BD = BD.ZBAD=ZBED=ZDAC + ZC,即 ZBAD=ZDAC + ZC三、用“垂直平分线” 构造等腰三角形例3、如图所示，在厶ABC中，ZC=90, ZB=15, AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点M, BD=8，求AC的长分析：由MD垂直平分AB,联想到连接AD,构造出一个等腰三角形，则AD=BD, ZB=ZBAD=15，再结合直角三角形的性质可得解：连接 AD,VMD 垂直平分 AB,AND=AD=8,AZB=ZBAD=15,AZADC=1ZB + ZBAD=30，在 RtAACD 中，ZADC =30,A AC 二? AD 二 4四、用“三角形中 2 倍角的关系” 构造等腰三角形例4、如图所示，在AABC中，AD丄BC于点D,ZB=2ZC，求证：AB + BD = CD 分析：由已知AD丄BC,ZB=2ZC,如果我们在CD上截取DE=DB，连接AE,就可 以构造出两个等腰三角形ABE和厶AECAED证明：在上截取DE=DB，连接AE,VAD丄BC, DE=DB,AAE=AB,AZB=ZAEB,又 J Z AEB= Z C + Z CAE=2 Z C , Z. Z CAE= Z C , Z. AE=EC ,AB + BD = AE + ED = EC + ED = CD
