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1、初三数学第13讲圆协助线增添(学生版)第 13讲圆的常有协助线不用增添内容，任课老师依据学生状况自行增添不用增添内容，也不做改正垂径定理解题应用举例垂径定理的 题设和结论题设结论直线 (直径 )均分弦直线过圆心直径直线均分弦所对优弧直线垂直于弦直线均分弦所对劣弧注意：题设中的两个条件缺一不行。不用增添内容，也不做改正不用增添内容，任课老师依据学生状况自行增添一、利用垂径垂直均分弦，证有关线段相等例 1如图， AB是O的直径，弦求证： CE=DF。CD与 AB 订交，过A，B 向CD引垂线，垂足分别为E， F，证明：过O作OMCD于M，CM=DM，AECD，BFCD，AE/OM/FB，又O是 A
2、B中点，M是 EF中点平行线均分线段定理，EM=MF，CE=DF。说明： 此例是垂径定理及平行线均分线段定理相联合构成的命题。因为对称点，欲证CE=DF，那么 E，F 也必是轴对称点，因为E， F 是垂足，那么某条垂线成轴对称点，这样，这两个知识的联合局部还是含有共同的对称轴。C、D 两点是轴E， F 也应对于二、 利用垂径均分弦所对的弧，办理角的关系例 2 ABC 内接于 O，且 AB=AC，O 的半径等于 6cm， O点到 BC的距离为 2cm，求 AB的长。剖析： 因为不知道 ABC 是锐角三角形，还是钝角三角形由剖析， ABC 不会是直角三角形，因为假定是直角三角形，那么 BC为斜边，
3、圆心 O在 BC上，这与 O点到 BC的距离为 2cm 矛盾，所以圆心有可能在三角形内部，也可能在三角形外面， 所以需分两种状况进行议论： 1假假定 ABC是锐角三角形，如图，由AB=AC， 可知，点 A 是弧 BC中点，连结 AO并延伸交BC于 D，由垂径推论可得 ADBC，且BD=CD，这样 OD=2cm， 再连结 OB，在 RtOBD中 OB=6cm， 可求出 BD的长，那么 AD长可求出，那么在 RtABD中可求出 AB的长。 2假定 ABC是钝角三角形，如图，连结 AO交 BC于 D，先证 ODBC， OD 均分 BC，再连结OB，由 OB=6cm， OD=2cm，求出 BD长，而后
4、求出 AD的长，进而在 RtADB中求出 AB的长。略解： 1连结 AO并延伸交 BC于 D，连结 OB，AB=AC， ADBC 且 BD=CD，OD=2， BO=6，在 RtOBD中，由勾股定理得：BD=OB2OD2=6222=4 2，在 RtADB中， AD=OA+OD=8，由勾股定理可得： AB=AD 2BD 2= 824 226 (cm)=4 2同 1增添协助线求出BD=42 ，在 RtADB中， AD=AO-OD=6-2=4，由勾股定理可得： AB= BD2AD224 3 (cm) ，4242 AB=4 6 cm 或 4 3 cm。说明：凡是与三角形外接圆有关的问题， 必定要第一判断
5、三角形的形状， 确立圆心与三角形的地点关系，防备丢解或多解。三、利用垂径定理，结构勾股定理例 3如图：直线 AB与O 交于 C， D，且 OA=OB。 求证： AC=BD。证明：作 OEAB 于点 E，CE=ED，OA=OB， AE=BE， AC=BD。请想一下，假定将此例的图形做以下变化，将怎样证明。变化一，：如图，OA=OB， 求证： AC=BD。变化二：如图，在以O为圆心的两个齐心圆中，大圆的弦AB交小圆于C， D 两点，求证： AC=BD。说明：这三道题的共同特色是均需要过点 O作弦心距，利用垂径定理进行证明，所变化的是 A，B 两点地点。例 4如图，O 的直径 AB和弦 CD订交于点
6、 E， AE=1cm， EB=5cm， DEB=600，求 CD的长。解：作 OFCD于 F，连结 OD，AE=1， EB=5，AB=6， OA= AB =3，OE=OA-AE=3-1=2 ，20在 RtOEF中， DEB=60， EOF=300， EF= 1 OE=1，2OF=OE2EF 23，在 RtOFD中， OF= 3 ，OD=OA=3，DF= OD2OF 232326 (cm) ，OFCD， DF=CF，CD=2DF=2 6 (cm)说明： 因为垂径定理波及垂直关系，所以便可出现与半径有关的直角三角形，求弦长，弦心距，半径问题， 经常能够利用弦心距、半径和半弦构成一个直角三角形，用其
7、性质来解决问题，因此，在圆中常作弦心距或连结半径作为协助线，而后用垂径定理来解题。例 5、如图大 O 的半径为 6cm，弦 AB=6cm， OCAB 于 C，以 O 为圆心 OC 的长为半径作圆，交 OA、OB 于点 D、E。(1)求小 O 的半径 OC的长(2)求证： AB DE剖析：求 OC 的长的问题其实是一个解直角三角形的问题，而求证 AB DE那么能够利用三线八角来达成。（ 1解： OA=OB=AB=6cmODEACB AOB 为等边三角形底边 AB 上的高 OC 也是底边上的中线 OC=22cm63 33() 2证明： AOB 是等边三角形 A= AOB=600在 ODE 中， O
8、D=OE， DOE=600 ODE 为等边三角形 ODE=600 ODE= ADEAB说明：这里用到了等腰三角形“三线合一的性质，假定要证明“OC 垂直均分 DE，怎样表达较为简易？：直径 CD、弦 AB 且 CD AB 垂足为 M?求证： AM=BM ， ACBC，ADBD .剖析：要证 AM=BM，只需证 AM、 BM 构成的两个三角形全等所以，只需连结OA、?OB 或 AC、BC 即可证明：如图，连结OA、OB，那么 OA=OBCABMO在 Rt OAM 和 Rt OBM 中OAOBOMOM Rt OAM Rt OBM AM=BM点 A 和点 B 对于 CD对称 O 对于直径CD对称A
9、档练习题1、 2021 年潍坊市 如图， O 的直径 AB=12，CD是 O 的弦， CDAB，垂足为 P，且 BP：AP=1:5,那么 CD 的长为 .A.B.C.D.2、 (2021 年黄石 ) 如右图，在中，以点为圆心，为半径的圆与交于点，那么的长为A.B.C.D.C3、(2021河南省 ) 如图， CD 是的直径，弦于点 G，直线与相切与点 D，那么以下结论中不必定正确的选项是【】ADBABC AD BC D4、 2021?泸州 O 的直径 CD=10cm ，AB 是 O 的弦，AB CD ，垂足为 M ，且 AB=8cm ，那么 AC 的长为A cmBcmCcm 或cm Dcm 或c
10、m5、 2021?广安如图，半径OD 与弦 AB 相互垂直， 垂足为点C，假定 AB=8cm ，CD=3cm ，那么圆 O 的半径为A B 5cmC 4cmDcmcmB 档练习题6、 2021?绍兴绍兴市有名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为 8m，桥拱半径 OC 为 5m，那么水面宽AB 为A 4mB 5mC 6mD 8m7、2021?温州如图，在 O 中，OC弦 AB 于点 C，AB=4 ，OC=1 ，那么 OB 的长是A BCD8、 2021?嘉兴如图， O 的半径 OD 弦 AB 于点 C，连结 AO 并延伸交 O 于点 E，连结 EC假定 AB=8 ， CD=2 ，那么 EC 的长为A 2B 8C 2D 29、 2021?莱芜将半径为 3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰巧能经过圆心O，用图中暗影局部的扇形围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为A BCD10、 2021?徐州如图，AB 是 O 的直径，弦CD AB ，垂足为 P假定 CD=8， OP=3，那么O 的半径为
