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1、高考极坐标及参数方程题型总结（一）极坐标中的运算1在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （）求1C ，2C 的极坐标方程； （）若直线3C 的极坐标方程为()4R =，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN的面积. 2【2021高考新课标2，理23】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t =?=?（t 为参数，0t ），其中0O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C =，曲线3:C =（）
2、.求2C 与1C 交点的直角坐标；（）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值【答案】（）(0,0)和3)2；（）4（）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R =，其中0为(2sin ,)，B 的极坐标为,)所以2sin AB =-4in()3s =-，当56=时，AB 取得最大值，最大值为43（2021年全国I 高考）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t为参数，a 0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：=4cos.（I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为=0，
3、其中0满足tan 0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：c o s 1s in x a t y a t=?=+? （t 均为参数）()2221x y a+-= 1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆方程为222210x y y a+-+-=222sin x yy +=，222sin 10a-+-= 即为1C 的极坐标方程 24c o s C =：两边同乘得22224c o s c o s x y x=+=，224x yx+=即()2224xy-+= 3C ：化为普通方程为2y x=由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C 得：24210x y a-+-=，即
4、为3C210a-=1a =4：已知圆C 的圆心C 的极坐标为 ，半径为 ，过极点O 的直线L 与圆C 交于A,B 两点， 与 同向，直线的向上的方向与极轴所成的角为 （1） 求圆C 的极坐标方程；（2） 当 时，求A,B 两点的极坐标以及弦的长 5：在直角坐标系xoy 中，曲线 的参数方程为 （为参数）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线 的极坐标方程为 （1） 求曲线 的极坐标方程和 的参数方程；（2） 若射线 与曲线 分别交于M,N 且 = ，求实数 的最大值.（二）.参数方程中任意点（或动点） 例：曲线 :(t 为参数)， ：(为参数) （1）.化 ， 为直角坐标系方程
5、，并说明表示什么曲线。(2).若 上的点P 对应的参数为,Q 为 上的动点，求PQ 中点M 到直线(t 为参数)距离最小值。例：在极坐标中，射线 与圆 交于A 点，椭圆D 的方程为，以极点为原点，极轴为x 正半轴建立平面直角坐标系xoy （1） 求点A 的直角坐标和椭圆D 的参数方程；（2） 若E 为椭圆D 的下顶点，F 为椭圆D 上任意一点，求 的取值范围。例：在直角坐标系中，圆 经过伸缩变换后得到曲线 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L 的极坐标方程为. （1） 求曲线 的直角坐标方程及直线L 的直角坐标方程； （2） 设点M 是 上一动点，求点M 到直线L 的距离
6、的最小值. 例（2021年全国III 高考）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .x O y 1C o s ()sin x y ?=?=?为参数x 2C s in ()4+=（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点P 在上，点Q 在上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 三直线与曲线相交问题例（2021年全国II 高考）在直角坐标系中，圆的方程为（）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，的斜率解：整理圆的方程得2212110x y +
7、=，由222cos sin x y xy ?=+?=?=?可知圆C 的极坐标方程为212cos 110+=记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=， =，即22369014kk=+，整理得253k =，则k= 1C 2C 1C 2C x O y C 22(6)25x y +=x C l c o s s in x t y t =?=?t l C ,A B |A B =l例（2021）湖南已知直线5:12x l y t ?=+?=+?（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos =. （1） 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（
8、2） 设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA MB ?的值.例：在平面直角坐标系xoy 中，曲线 的参数方程为 ，(为参数，且 ， ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，.曲线 的极坐标方程 四求点坐标，图形面积，轨迹方程等的计算。例：（全国新课标理23）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数 ) M为 上的动点，P 点满足，点P 的轨迹为曲线 （I ）求 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与 的异于极点的交点为A ，与 的异于极点的交点为B ，求|AB|.解：（I ）
9、设P(x ，y)，则由条件知M （）由于M 点在 上，所以 从而的参数方程为（为参数） （）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为 所以.2O P O M=2C 4c o s 44s in x y =?=+?1C 4s in =2C 8s in =3=1C A 14s in3=3=2CB 28s in3=21|A B -=例：在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数为 ，以O 为极点x ，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线L 的极坐标方程 . (1) 若曲线C 与L 只有一个公共点，求a 的值；(2) A,B 为曲线C 上的两点且AOB=，求OAB
10、 的面积最大值. 习题训练：1.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 )-2=0曲线的极坐标方程为, 与 相交于A,B 两点.（1）求和的直角坐标方程；(2)若点P 为 上的动点，求+ 的取值范围. 2. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程 (t 为参数）曲线的极坐标方程为 (1) 求的极坐标方程和 的参数方程(2)若射线 （ ）与曲线 ， 分别交于M,N 且 ，求实数的最大值. 3. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 和直线L 的极坐标方程分别为 cos( )， (1)
11、将曲线C 极坐标方程化为直角坐标方程；（2）直线L 与曲线C 交于A,B 两点，点P （ ， ）求 的值. 4. 在极坐标系中，已知曲线C ： ,过极点O 作射线与曲线C 交于Q ，在射线OQ 上取一点P ，使（1）求点P 的轨迹 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，若直线L ：y= 与（1）的曲线 相交于E （异于点O ）,与曲线 t 为参数）相交于点F ，求 的值.5. 在直角坐标系中，曲线的参数方程 (为参数）若M 是曲线 上的一点，点P 是曲线 上任意一点，且满足 .x O y x 1C 2C 1C 2C x O y x 1C 2C 1C x O y x
12、 x x O y x O y 1C（1）求曲线 的直角坐标方程；(2) 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线L: ，在直线L 上两动点E,F 满足 ，试求MEF 面积的最大值. 6在直角坐标系中，曲线L 的参数方程 (t 为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程 ， ，点 是曲线上的动点，Q 为MN 的中点；（1）求点Q 的轨迹 的直角坐标方程；（2）已知直线L 与x 轴的交点为P ，与曲线 的交点为A,B 若AB 的中点为D ，求 的长 7. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为- )-2=0, 曲线 的极坐标方程为 与 的交点为A,B. (1) 将曲线 极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A,B 的直角坐标；（2）若P 为 上的动点，求的取值范围. x x O y x 1C x O y x
