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1、2000年第 5期数学通报 数学问题解答 2000年 4月号问题解答 (解答由问题提供人给出 ) 12461 f (n)定义在正整数集合上 ,且满足 f (1) = 2,f (n + 1)= (f (n) 2-f (n)+ 1,n = 1, + + f (n)(f (n)-1)+1 f (n + 1)-1= f (n)(f (n)-1)于是 f (n +11)-1 1 = f (n)(f (n)-1) 11 =f (n)-1 f (n)即 f (1 n)= f (n)1-1-f (n +11)-1所以 f (1 k ) nk=1 11 =(-) nk=1 f (k )-1 f (k + 1)-
2、111 =f (1)-1 f (n + 1)-1 1 = 1f (n + 1)-1下面只要用数学归纳法证明 22n-1 22n f (n + 1)-1 n =2时,显然成立 ;假设 n = k时,命题成立 ;则 n = k +1时,有 f (k + 2)= f (k + 1)(f (k + 1)-1)+ 1根据归纳假设 , 22k-1 f (k + 1) +1;以及 f (k + ) 22k (22k -1)+ 1 22k+1 22k+1 22k = -+1 +1命题对于 n = k +1也成立 .由DE AC得 DE = BD ,即 DE = AC BC BD AC nb =.BC n +
3、m mc 同理可得 DF =+ n .AD 2= DE 2+ AE 2= b2nb mc n 2+ m 2 c 2 )2 )2(+(= .n + mn + m (n + m )2 又由于 ABD和 A CD的内切圆相等 ,而它们的半径分别为 2S ABD ,2S A CD .AD + c + n AD + b + m 2S ABD 2S A CD 于是有 AD + c + n = AD + b + m .又因为 S ABD : S A CD = n: m所以 AD + nc + n = AD + mb + m即 AD (m -n)= nb -mc, AD = nb -mc (m n). m -
4、n (1)当m = n时,则 b = c且AB AC =2AD 2. 2b2 22 (2)当 m n时,则 AD 2= n (n + mm )2 c = (nb2mc)2 (m -n)2化简得 n 2b2+ m 2 c 2= 21 bc (m + n)2b2 所以 21 bc = n 2(m + 2= AD 2故 AB AC =2AD 2. 12481AD、BE、CF是 ABC的三条内角平分线 .求证 :4 BF + CD + AE 0.S ADC 由 (3)有 yz = n 2+ 4(y + n 2 n 2 同理= BC = S ABC = +8x /n 2 x = 12/n 24/z )
5、/x 4/S 3+ S 4+ S 5 S ABC , 所以 zn 2, 0 z 22 yz 12/n3 /(4)c AE S BAE S 5+ S 6+ S 1 c + a = AC = S ABC = S ABC 若 2 3 /n 2 3= abc 314641时 ,由 (4)有 z 1这与 z为正整数矛 a + b + b + c + c + 盾,此时满足 (3)的 x、y、z不存在 .因而 ,当 n 4=(S 1+ S 2+ S 3)+ (S 3S 4+ S 5)+ (S 5+ S 6+ S 1) 时 (n为正整数 ),满足题设的三角形不存在 .S ABC 若 n = 3,由 (4)有
6、0 z 2 = 1+ S 1+ S 3+ S 5 而 z是整数 ,所以 z = 1,代入 (4)有 3 /3 2,S ABC 注意“数学通报” 1999年 9期第 1214题的结y = 1 (5)论: 代入 (3)得 x = 58,这与 x为正整数矛盾 ,因13 a + b + c 14 而,当 n =3时满足题设的三角形不存在 .9 a + bb + cc + a 9 将代入得 : 若 n = 2,由 (4)有 0 z 4 S 1+ S 3+ S 55 整数 ,所以 z = 1,代入 (3)有 x =(y + 31,) 而 /(yz-是9 S ABC S 1+ S 3+ S 5 5当 y =
7、2时, x = 3;当 y =3时, x = 2;而 x 亦即 : 45 SS 12 + SS 34 + SS 56 54 y x = 3, y = 2,此时 , a = 3, b = 4, c = 5.即 4 S 1+ S 3+ S 5 5 当 n =3时,满足条件的三角形有且只有一个 ,其5 S 2+ S 4+ S 64边长为 3、4、5.由于面积为 Si的六个小三角形有公共的高z ) 若 n = 1,代入 (3)有 xyz = 4(x + y (+7)即 ABC的内切圆半径 r,故上式可写成 : 1 42 r (BF + CD + AE )5 又由 (4)有 0 z 2 3 4,而 z是
8、正整数 ,所51 4 以 z = 1,或 z = 2,或 z = 3.2 r (BD + CE + AF ) 当 z =1时,由 (7)得 x = (4y + 4) /(y 4 BF + CD + AE 5 -4)=4+ 20/(y -4) (8) 5 BD + CE + AF 4 由 x是正整数知 , y -4是 20的约数 ,注意到 x y ,可得 y = 5, 6, 8,由 (8)得相应的 x分别为 24, 14, 9.此时 , a = 29, b = 25, c = 6;或 a = 20, b = 15, c = 7;或 a = 17, b = 20, c = 9.当 z =2时,由
9、(7)得 x = (2y +(y 2)=2+ (y -2) (9)-1 = 8abc 2b222 2b44 2 a + ac +2a bc -c +2b2 c 1 2b242= 2a -a + a bc 4abc 1 = 162+ abca4abc 4a =+abc 4 11 =+R 2r 2000年 5月号问题 (来稿请注明出处 编者 ) 12511设数列 an 满足 : a1= 1,且 an+ 1 = 12 an + 94 an 9an 2-8为自然数.(方廷刚提供 ) 12521设 a, b, c是周长为 1的三角形的三条边长 ,试证 : a 2b + b2 c + c 2 a 18 (
10、盛宏礼提供 ) 12531设四面体 A 1A 2A 3A 4的外接球与内切球的半径分别为 R与 r,则 R 3r.(邹明提供 ) 12541设ma , mb, mc分别是 ABC三边 a, b, c上的中线 ,且 a b, a c,求证 1 mb + mc -2ma (2a -b -c)2 (王德文提供 ) 12551四面体 A -B CD三组对棱分别为 a, a, b, b, c, c这三组对棱距离为 d 1, d 2, d 3,这三组对棱中点距离为 m 1, m 2, m 3,外接球半径为 R ,内切球半径为 r,试证 : 3 2 2 md ii 4 Rr -27 (孔令恩提供 ) i=1
