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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第I卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 若复数满足，则等于（ ）A B C D2. 等差数列中，则数列的公差为（ ）A1 B2 C3 D43. 下列命题中，真命题是（ ）A BC的充要条件是 D是的充分条件4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱5. 下列不等式一定成立的是（ ）A BC D6. 如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为
2、（ ）A B C D7. 设函数，则下列结论错误的是（ ）A的值域为 B是偶函数C不是周期函数 D不是单调函数8. 双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A B C3 D59. 若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）A B1 C D210. 函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质。设在1,3上具有性质，现给出如下命题：在上的图像时连续不断的；在上具有性质；若在处取得最大值1，则，；对任意，有。其中真命题的序号是（ ）A B C D第卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。1
3、1. 的展开式中的系数等于8，则实数_。12. 阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的值等于_。13. 已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_。14. 数列的通项公式，前项和为，则 _。15. 对于实数，定义运算“”：，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是_。三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16. （本小题满分13分） 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆
4、，统计书数据如下： 将频率视为概率，解答下列问题：（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。17. （本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 （I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II）根据（）的计算结果
5、，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。18. （本小题满分13分）如图，在长方体中，为中点。（）求证：；（）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由。（）若二面角的大小为，求的长。19. （本小题满分13分）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。（）求椭圆的方程。（）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相较于点。试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。20. （本小题满分14分）已知函数 （）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；（）试确定的取值范
6、围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设曲线在矩阵 对应的变换作用下得到的曲线为。（）求实数的值。（）求的逆矩阵。（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为几点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线上两点的极坐标分别为，圆的参数方程为参数）。（）设为线段的中点，求直线的平面直角坐标方程；（）判断直线与圆的位置关系。（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数，且的解集为。（）求的值；（）若，且，求证：
