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1、第三章湘江流量估计模型数值积分法3.1湘江水流量估计的实际意义水流量是水文特征值的一个重要指标，而水文特征值对于水资源的合理利用，防洪以及抗旱具有指导性的作用，因此湘江水流量估计对于湘江流域的社会经济和人民生活具有重大的影响。现根据实际测量得到湘江某处河宽700m，其横截面不同位置某一时刻的水深如表所示。若此刻湘江的流速为0.5m/s,试估计湘江此刻的流量。要计算湘江水流量就需要知道其横截面面积，如果知道此处江的水深曲线函数h(x)，则其横截面面积为Jbh(x)dx。但是在实际中h(x)是a不可能精确得到的，那么怎样求出足够高精度的横截面面积的近似值。表湘江某处横截面不同位置的水深数据单位：m
2、x050100150200250300350400450500550600650700h(x)4.25.95.85.24.55.755.54.85.94.15.14.65.7,4.7数值求积的必要性在高等数学中，曾用牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式:Jbf(x)dx=F(x)b=F(b)一F(a)(其中F(x)是f(x)的一个原函数)来计算定积分。但是，在工程技术和科学研究中，常常遇到如下情况:f(x)的结构复杂，求原函数困难;f(x)的原函数不能用初等函数表示;f(x)的精确表达式不知道，只给出了一张由实验提供的函数表。对于这些情况，要计算积分的精确值都是十分困难的，这就要
3、求建立积分的近似计算方法。此外，积分的近似计算又为其它一些数值计算，例如微分方程数值解、积分方程数值解等提供了必须的基础。构造数值求积公式的基本方法可以从不同的角度出发，通过各种途径来构造数值求积公式。但常用的一个方法是，利用插值多项式来构造数值求积公式。具体做法如下：在积分区间a,b上取一组点：ax0x1xnJb，作f(x)的n次插值多项式:L(x)=2f(x)l(x)nkkk=0其中l(x)(k=0,1,n)为n次Lagrange插值基函数。用L(x)近似代替被积函数knf(x)，则得:)Jbf(x)dxfbL(x)dx=区f(x)Jbl(x)dxaankakk=0若记A=fblkak(x
4、)dx=b(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)70IHndx(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)k0kk-1kk+1kn)得数值求积公式:)fbf(x)dxu工Af(x)kkak=0形如()的求积公式称为机械求积公式。其中xk称为求积节点，称为求积系数。若求积公式()中的求积系数A是由()确定的，则称该求k积公式为插值型求积公式。本章主要讨论插值型求积公式。求积公式的余项积分fbf(x)dx的真值与由某求积公式给出的近似值之差，称为该求积公式a的余项，记作Rf。例求积公式()的余项为：Rf=fbf(x)dx-HAf(x)akkk=0如果求积公式()是插值型的，则由上知：Rf=fbf(x
5、)dx-fbL(x)dx=fbf(x)-L(x)dxaanan于是，由插值余项公式得：Rf=fbf(+1)w(x)dx()a(n+1)!n+1其中3(x)=(x一x)(x一x).(x一x),gw(a,b)。n+101n求积公式的代数精度为了使一个求积公式能对更多的积分具有良好的实际计算意义，就应该要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立。在数值计算中，常用代数精度这个概念来描述。定义311若求积公式：Jbf(x)dxqa对任意不高于m次的代数多项式都准确成立，而对于xm+1却不能准确成立，则称该公式的代数精度为m。例梯形公式(在几何上就是用梯形面积近似代替曲边梯形面积，如图所示)jbf(x)dx
6、q1.5)a2的代数精度m二1。图梯形求积公式几何直观示意图解：当f(x)=1时，在()中:左端=jb1dx=b-a，右端=左端=右端,这表明求积公式()对f(x)=1是准确成立的;当f(x)=x时，在()中:左端=-_-L+b=(b2一a2),22右端=jbxdx=(b2一a2)，a2左端=右端，这表明求积公式()对f(x)=x也是准确成立的;综上所述，容易看出求积公式()对函数f(x)=1和f(x)=x的任一线性组合(不高于一次的代数多项式)都准确成立，故公式)的代数精度m至少等于1。但是，当f（x）=x2时，在（）中:左端=Jbx2dx=丄（方3a3）,a3右端=a2+b2,2左端H右端
7、（设a丰b）,故由定义知，梯形公式（）的代数精度m=1。显然，一个求积公式的代数精度越高，它就越能对更多的被积函数/（x）准确（或较准确）地成立，从而具有更好的实际计算意义。由插值型求积公式的余项（）容易得出下面的定理。定理311含有n+1个节点x（k=0,1,n）的插值型求积公式（）的代数精k度至少为n。.3.2数值求积的Newton-Cotes（牛顿-柯特斯）方法在3.1中，介绍了插值型求积公式及其构造方法。在实际应用时，考虑到计算的方便，常将积分区间等分，并取分点为求积节点。这样构造出来的插值型求积公式就称为牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式。本节在介绍一般牛顿-柯特斯公式的基
8、础上，介绍几个常用的牛顿-柯特斯公式以及这些公式在实际计算时的用法。NeWon-Cotes（牛顿-柯特斯）公式_ba若将积分区间a,bn等分，取分点x=a+kh,（h=,k=0,1,n）作为求积节点,可得：kn)并作变量替换x=a+th，那么插值型求积公式（3.1.3）的系数由A=hJnt(t一1)(t一k+1)(t一k一1)(t-n)dtk0k!(1)n-k(nk)!ba(1)n-k=XJnt(t1)(tk+1)x(tk1)(tn)dt(-1)n-knk!(nk)!0(321)C(n)=Jnt(t1)(tk+1)(tk1)(tn)dtkn#Hnk)!oA=（b-a）C（n）kk于是,由（）就
9、可写出相应的插值型求积公式:Jbf(x)dx沁(b一a)工C(n)f(x)kk这就是一般的牛顿一柯特斯公式，其中C(n)称为柯特斯系数。k从柯特斯系数的算式(321)可以看出，其值与积分区间a,b及被积函数f(x)都无关，只要给出了积分区间的等分数n，就能毫无困难地算出C(n),C(n),C(n)o01n例当.n=1时有：C(1)=J1(t1)=,0o2C(1)=J1tdt=1o2当n=2时，有：C二-J2(t1)(t2)dt二04o6C=-丄J21(t2)dt=,2o6C=J21(t1)dt=4o6为了便于应用，部分柯特斯系数列见表表柯特斯系数表nC(n)oC(n)1C(n)2C(n)3C(
10、n)4C(n)5C(n)611/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9o16/452/1516/4517/9o519/28825/9625/14425/14425/96199/288641/84o9/359/28o34/1o59/28o9/3541/84o利用这张柯特斯系数表，由()可以直接写出当n二1,2,6时的牛顿柯特斯公式例当n=1时有两点公式：)Jbf(x)dx沁斗f(a)+f(b)a2当n=2时有三点公式：Jbf(x)dx畤f(a“4f(字“f(b)n=4时有五点公式：Jbf(x)dx沁b-a7f(x)+32f(x)+12f(x)+32f(x)+7f(x)a9
11、oo1234ba其中，x二a+k,(k二o,l,2,3,4)oku4求积公式（）就是梯形公式。求积公式（）称为辛普生（Simpson）公式。其几何意义就是通过A,B,C三点的抛物线y二L（x）围成的曲边梯形面积近似地代替原曲边梯形面积，如图2所示。因此，求积公式（324）又名抛物线公式。求积公式（）称为柯特斯公式。图抛物线积分公式几何示意图梯形公式、辛普生公式和柯特斯公式，是三个最基本、最常用的等距节点下的求积公式。下述定理给出了这些求积公式的余项。定理若f（x）在a,b上连续，则梯形公式（323）的余项为：Rf=-f论）（）112若f（4）（x）在a,b上连续，则辛普生公式（324）的余项为
12、：Rf=丄伫）5f（4）（g）（）2902若f（6）（x）在a,b上连续，则柯特斯公式（325）的余项为：Rf=-加字）7f（6）G）（）49454其中，gea,b。322复合Newton-Cotes（牛顿-柯特斯）公式由定理321知,当积分区间a,b较大时，直接使用牛顿-柯特斯公式所得积分近似值的精度是很难得到保证的。因此在实际应用中，为了既能提高结果的精度，又使算法简便且易在计算机上实现，往往采用复合求积的方法。所谓复合求积，就是先将积分区间分成几个小区间，并在每个小区间上用低阶牛顿一柯特斯公式计算积分的近似值，然后对这些近似值求和，从而得到所求积分的近似值。由此得到的一些具有更大实用价值
13、的数值求积公式，统称为复合求积公式。ba例先将区间a,bn等分，记分点为x=a+kh,(k=0,1,n)，其中h二,kn称为步长，然后在每个小区间x,x上应用梯形公式(323),i1i1kJxkf(x)dxqf(x+f(x)(k=1,2,n)xk12k就可以导出复合梯形公式：扫(x)dx丄J”(x)dx2另f(:i)+f(卩ak=1Xk-1k=1若将所得积分近似值记成T，并注意到x=a,x=b，则上式即为:n0nf(x)dxQT=hf(a)+2艺f(x)+f(b)kk=1(329)同理，可得复合辛普生公式:Jbf(x)dxqS匕f(xan6k=0k+2)+2刃f(x)+f(b)kk=1)+12
14、因f(x)+32因f(x)+14因f(k=0k+2k=0k+4x)+7f(b)kk=0和复合柯特斯公式：bf(x)dxqaJbf(x)dxqC=7f(a)+32刃f(x)n90k0k+1k=04其中1了x=x+h,71k4k4定理若f(x)在积分区间a,b上分别具有二阶、四阶和六阶连续导数，则复合求积公式(329)、(3.2.10)和(3.2.11)的余项分别为：=-学h2f”(g)=(-)4f忆)1802込上)6f6忆)9452Jbf(x)dxTanJbf(x)dx-SanJbf(x)dxC=a其中ea,b，且当h充分小时，又有:Jbf(x)dxTQ1h2f(b)f(a)an12Jbf(x)dxSQ(h)4f(b)f(a)an1802)(3214)(3215)(3216)2hJbf(x)dx-Cu-(-)6f(b)-f(a)an9454证明只对复合梯形公式(329)证明余项公式(3212)和(3215).(3217)先证（3212）。由于f（x）在a,
