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1、 八年级上数学思维训练 三分天注定，七分靠打拼第4讲 实数与勾股定理的综合运用2【知识考点梳理】1、熟练求一个数的平方根、立方根，正确识别，的意义；2、熟练运用二次根式的性质化简二次根式，熟练进行实数的混合运算、 、 、3、熟练进行分母有理化-把分母中的根号划去最简二次根式的有理化因式为，的有理化因式为。4、勾股定理有关计算与实数运算结合的综合题【典型例题、考点导航】 【考点题型1】-实数的相关概念【例1】1、下列说法中正确的是（ ）、任何数的平方根有两个； 、立方根仍是这个数的实数只有和；、的平方根是； 、平方根仍是这个数的实数只有和；2、（13江苏淮安）如图，数轴上、两点表示的数分别为和，
2、则、两点之间表示整数的点共有（ ）、6个 、5个 、4个 、3个3、（原创）有4张相同的卡片，上面分别标有数字，现将卡片背面朝上洗匀放在桌上，从中随机抽取一张卡片，上面的数字恰好是无理数的概率为（ ）、 、 、 、4、（浙江丽水、金华改编）如图，数轴上一个刻度单位长为，如果点，表示的数的绝对值相等，那么点表示的数是 ；5、当时，化简； 【考点题型2】-计算、化简【例2】比较下列实数的大小（在 填上、或）、 ；、 ；、 。【例3】直接写出结果：（1）；（2）；（3）；【例4】计算：、 、 、 【考点题型3】-勾股定理与实数结合的有关计算【例5】1、（13张家界）如图，O，过作，得；再过作且，得；
3、又过作且，得；依此法继续作下去，得；2、（山东菏泽）如图所示，在三角形纸片中，在上取一点，以为折痕，使的一部分与重合，与延长线上的点重合，则的长度为（ ）、6 、3 、 、【例6】（13北京）已知：如图，四边形中，对角线、相交于点，和的长。【创新题型、思维拓展】【例7】1、（13台州）任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，现对72进行如下操作： ，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，、对81只需进行 次操作后变为1；、只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ； 2、观察下面的式子：，。（1）计算：；（用的代数式表示）（2）计算：（用的代数式表示）从（1）中你发现的规律是：【
4、例8】用计算器求下列根式的值如下，结果保留了4个有效数字，对每组的结果进行研究，你发现什么规律？并试用你获得的结论解决下面的问题：（1）； ；（2）； ； ； ； ； ； 利用你发现的规律，试解答下面的两个题目：（3）若，则 ；（4）若的立方根是45.6，则立方根是456的数为 。【例9】（13达州）一道结论性探索题的类比延伸：通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，连接，则，试说明理由。（1）思路梳理，把绕点逆时针旋转至，可使与重合。； ，点、共线。根据 ，易证，得。（2）类比引申如图2，四边形中，点、
5、分别在边、上，。若、都不是直角，则当与满足关系 时，仍有。（3）联想拓展如图3，在中，点、均在边上，且。猜想、应满足的等量关系，并写出推理过程。 方法点拨：猜想探索三条线段之间的数量关系有两种结果：（1）和差关系-截长补短法； （2）平方关系-构造直角三角形运用勾股定理证明；望子成龙学校家庭作业 科目： 数学 姓名： 家长签字： 1、如果的小数部分为，的小数部分为，则的值为 ；2、（13台湾）如图，中，为中点，在上，且若，则的长度为（ ）、10 、11 、12 、133、（13东营）如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 （容器厚度忽略不计）。4、计算：（1） （2）5、阅读下列解题过程并回答问题：（1）请观察上面解题过程,请直接写出的结果为 ；（2）利用上面所提供的解法,请化简：1
