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1、椭圆中的最值 一、的最值问题（为一焦点，为椭圆内部一定点，为椭圆上一动点） 例1 已知椭圆内有一点，为椭圆的右焦点，为椭圆上一动点，则的最大值为 ，最小值为 。 解析：如图，设椭圆的另一左焦点为。由椭圆的定义及基本不等式得=。当且仅当M、P、共线在MF延长线上时取得等号，即有(max=。 又=4，且仅当M、P、共线在的延长线上时取得等号，即有()min x y0 二、的最小值问题（为一焦点，为其内部一点，为椭圆上一动点） 例2 已知如图，点为椭圆上的动点，为右焦点，点为其内部一点，坐标为（1，），则的最小值。x 小小 y0解析 作出椭圆的右准线，易求其方程为，过作右准线的垂线，垂足为。易知该椭
2、圆的离心率为，故=，即，所以。当、三点共线时等号成立。即（）min=3 三、的最值问题（为椭圆上动点，、为其焦点） 例3 已知、为椭圆的左右焦点，点为椭圆上动点，则的最大值为 ，最小值为 。 解析 设点，则，由焦半径公式有，=，所以=。易知当时，max,当或时，min 四、的最值问题 例4 已知，则的最大值为 ，最小值为 。 解析 不难发现，的几何意义是动点到两定点、的距离之和等于4，故动点的轨迹应为以、为焦点，长轴为4的椭圆。所以方程等价于，化为参数方程为（为参数），故（。所以（）max,()min. 五、的最值问题（为椭圆上动点，、为其焦点） 例5 已知椭圆，、为其左右焦点，在椭圆上是否存在一点，使，证明你的结论。 解析 为叙述简便起见，不妨设，则有，且。由余弦定理知，即。又（对任意椭圆而言），由余弦函数的单调性知，也即的最大值为，当，即时，取到最大值，故符合条件的点不存在。注：依此方法不难验证，对于任意椭圆，当为短轴端点时，取到最大值；当为长轴端点时，取到最小值，最小值为。
