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1、正切函数的性质与图象教学设计正切函数的性质与图象教学设计北京师范大学附属实验中学数学组 黎栋材一、指导思想与理论依据贝塔朗菲强调,任何系统都是一个有机的整体，它不是各个部分的机械组合或简单相加，而是系统的整体观念.数学知识更是一个有机整体，在平时的教学中，我习惯从系统的观点对所教内容进行整合，以优化其结构及知识、能力与方法。三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数是三角函数这个小分支中的一个内容节点，让学生能清晰的认识所研究的内容与方法:在内容上主要研究函数的性质-定义域、值域、对称性、周期性、单调性;在方法选择上,数形结合应是对其性质研究的主要途径.但也要让学生明白,系统内部各个子系
2、统有联系也有区别,作为正切函数除了一般函数的研究内容外，还要针对其图象的特点,特殊地研究其渐近线.在此也向学生进一步说明华老的“数缺形少直观，形少数难入微的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数的美无处不在,数学无处不美。二、教学背景分析本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，又一具体的三角函数。学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式,这为本节课的学习提供了知识的保障，在此基础上，进一步研究其性质,体会研究函数方法的课，也是为解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备的课为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，采
3、用几何画板自制课件进行演示,以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果.三、本课教学目标设计根据新课标及教材的特点、教学要求以及我校学生的认知水平，我从不同的方面确定了以下教学目标1.在对正切函数已有认知的基础上，分析正切函数的性质。2。通过已知的性质，利用正切线画出正切函数在上的图像,得到正切曲线。3。根据正切曲线，完善正切函数的性质。4.在探究正切函数基本性质和图像的过程中,渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯
4、的养成 四、教学过程及教学资源设计教学过程及学生活动设计说明复习旧知提问1：首先我们回忆角的正切是如何定义的？ 角的正切：提问2:角是任意的吗 ？ 引出正切函数的定义域。提问3：习惯，学生分析量与量之间的关系正切函数的定义：，定义域让学生体会角的正切定义与正切函数之间的关系，为后续课堂做铺垫正切函数的性质提问4：类比我们已经学习的正弦函数、余弦函数的图像与性质，我们可以从哪些方面研究正切函数的性质？ 学生回答:正弦、余弦函数都有哪些方面的性质。【教师一一板书学生回答的性质】提问5：我们对正切函数也已经有了初步的了解，譬如:正切线，与正切有关的诱导公式等,就已有的知识，下面请同学具体说明正切函数
5、的性质？ 1定义域：2值域： R 【利用课件演示正切线的变化,让学生直观感受】3奇偶性：奇函数 【用反例说明不是偶函数】 4 周期性：最小正周期是 5单调性:在整个定义域上既不是增函数也不是减函数【举反例：这与单调性的定义矛盾】6对称性 利用已有的认知结构,探究未知的问题类比,是研究问题最重要的方法之一反例在数学中的作用正切函数的图像提问6：我们已知了正切函数的部分性质，如何利用已有的性质画出正切函数的图像?由于正切函数的是最小正周期是的周期函数，所以我们只需要画出他在一个周期内的图像,然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图像。选择哪一个长度为的区间呢？可以选择区间；而正切函数又是奇函数,所
6、以只需画出在的图像。正切曲线 ，且的图象，称“正切曲线”.利用已知的性质,如何画函数的图像体会函数的性质与图像之间的关系观察图像,丰富性质【值域】当且时, ；当且时, ；【单调性】对每一个，在开区间内，函数单调递增【对称性】对称性：，无对称轴.对称性有几何画板先直观演示，然后给与严格的证明。【渐近线】正切函数的图像是被相互平行的直线所隔开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的。 形与数的结合，更能抓住问题的本质形与数对比正切函数的性质和图像，分析各个性质在图像上的反映，得出:函数的性质有利于画函数的图像,函数的图像是其性质的直观反应， 例题解析例1.比较与的大小 例2求函数的定义域。例3：求下列函
7、数的周期：（1) 答:。 （2） 答：。说明：函数(）的周期例4解关于的不等式。五、学习效果评价设计1效果设计 本节课的内容是正切函数的图像与性质。若按照教材直接利用正切线画出正切函数的图像，然后研究其性质，我觉得不能使知识成为一个系统，缺乏已有知识和未知知识的联系,不利于培养学生的能力。 知识的形成，是一个循序渐进的过程，不能一蹴而就。因此设计课程时，是在学生对正切函数已有的认知基础上，得到其一部分性质，但是并不完善,为了完善函数的性质，想到通过函数的图像直观地得到。2课堂实践 在课堂教学中,学生在学习了正、余弦函数的基础上，能够按照事先设计的思路逐步研究正切函数的性质，特别是在如何利用正切函数已有的性质基础上画出其图像、只需要画出那个区间上的图像，讨论非常热烈，体现了学生在课堂中的主体地位。另外，在得到函数的图像之后，在函数的性质是如何在图像上反映出来这一问题，理解得很透彻，分析得也十分到位。
